方程組的解析解法

方程組的解法

For equation set

AX=P

若矩陣A滿秩，則：
1. If A is a square matrix and has A−1 , (正定): X=A−1P .
2. If A is not a square matrix，使用廣義逆矩陣.
A超定，X=(ATA)−1ATP ；
A欠定（大多數情況下），X=AT(AAT)−1P .

A欠定：在圖像重建中，意味着 投影線個數 < 圖像像素數。在高分辨率下是很容易出現的情況，這也是迭代重建需要提供其他約束的原因。

若矩陣A不滿秩，不是方陣，方程組不相容，則：

不滿秩：各條投影線可能相關，比如：0度和180度的投影線爲同一條，當然相關了；
不是方陣：投影線個數 != 圖像像素數，這也是很容易理解的；
不相容：係數矩陣的秩 < 擴展矩陣的秩，這在投影數據含噪聲的情況下幾乎是必然的。

使用奇異值分解SVD尋找廣義解。
Am×n=Um×mΣVTn×n
VTV=In×n
UTU=Im×m
Σm×n=[diag{σi}000]

廣義逆矩陣爲：
A+=VΣ+UT
其中，
Σ+m×n=[Dr000]
Dr=diag{1σ1,1σ2,...,1σr,0,...,0}
X=A+P=VΣ+UTP