矩陣的逆

矩陣的逆

在線性代數中，給定一個n階方陣A，若存在一n階 方陣 B使得 AB=BA=E （或 AB=E 、 BA=E 任滿足一個），其中E爲n階單位矩陣，則稱A是可逆的，且B是A的逆陣，記作 A−1 。

若方陣A的逆陣存在，則稱A爲非奇異方陣或可逆方陣。

矩陣可逆的充分必要條件：

• AB=E ；
• A爲滿秩矩陣（即r(A)=n ）；
• A的特徵值全不爲0；
• A的行列式|A|≠0 ，也可表述爲A不是奇異矩陣（奇異矩陣即行列式爲0的矩陣）；
• A等價於n階單位矩陣；
• A可表示成初等矩陣的乘積；
• 齊次線性方程組AX=0 僅有零解；
• 非齊次線性方程組AX=b 有唯一解；
• A的行（列）向量組線性無關；

• 任一n維向量可由A的行（列）向量組線性表示。

  其實以上條件全部是等價的。