QR decomposition and Givens Rotation (QR分解與Givens旋轉)

在最近做的一個研究中，需要對 QR 分解進行更新，因此瞭解了一些關於 QR 分解和 Givens 旋轉的內容。在這裏進行總結。

QR 分解

所謂 QR 分解，就是將一個矩陣（可以不是方陣）分解成一個正交矩陣和一個上三角矩陣。即

A=QR

其中 Q 是正交矩陣，即 Q 中的列向量互相正交，即 QTQ=I ；R 是上三角矩陣。當 A 爲非奇異矩陣時，這個分解是唯一的。

實現 QR 分解的算法有多種，包括 Gram–Schmidt 正交化，Householder 變換，以及 Givens 旋轉。本文主要討論用 Givens 旋轉來實現的方法。關於 Gram–Schmidt 正交化實現的方法可以參看 QR Decomposition with Gram-Schmidt 。

Givens 旋轉

Givens 旋轉在數值計算中的主要作用在於將矩陣中的元素置換爲0。具體來說，就是將原矩陣做成一個正交的 Givens 矩陣，然後將原矩陣特定位置上的元素變成0。下面以一個 2×2 矩陣的例子進行說明。

A=[1324]

在Givens 旋轉一般考慮同一列中的兩個元素，並通過左乘正交陣的方法把下方的元素變成0，針對上面的矩陣 A ，我們考慮第一列，並對 A 陣左乘一個正交陣，即

[0.3162−0.89440.89440.3162][1324]=[3.162304.4272−0.6325]

其中左乘的正交陣被稱爲 Givens 矩陣，具有形式：

G=[cosθsinθ−sinθcosθ]

在這裏不詳細討論如何計算 Givens 矩陣，在 MATLAB 中可以直接調用 givens() 函數來進行計算。對於多維的矩陣，Givens 矩陣一般寫作下面的形式。

G=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1⋮0⋮0⋮0⋯⋱⋯⋯⋯0⋮c⋮s⋮0⋯⋯⋱⋯⋯0⋮−s⋮c⋮0⋯⋯⋯⋱⋯0⋮0⋮0⋮1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

QR 分解與 Givens 旋轉

下面我們來說明如何通過 Givens 旋轉 來實現 QR 分解。其實原理很簡單，就是通過將原矩陣 A 的主對角線下方的元素都通過 Givens 旋轉置換成0，形成上三角矩陣 R ，同時左乘的一系列 Givens 矩陣相乘得到一個正交陣 Q 。

可以通過下圖來理解，其中 × 表示沒有發生變化的元素，m 表示值改變的元素，每一個向右的箭頭表示原矩陣左乘了一次 Givens 矩陣。

⎡⎣⎢×××××××××⎤⎦⎥→⎡⎣⎢m×0m×mm×m⎤⎦⎥→⎡⎣⎢m00mm×mm×⎤⎦⎥→⎡⎣⎢m00m×0m×m⎤⎦⎥

即最終可以得到如下的形式：

QTA=R

從而得到

A=QR

相比於其他兩種實現 QR 分解的方法，基於 Givens 選擇的方法的優點在於其計算易於並行化，且在面對稀疏矩陣 (Sparse Matrix) 是可以減少計算量。