Dijkstra算法

1. 定義

單源點的最短路徑問題：給定帶權有向圖G和源點v，求從v到G中其餘各個頂點的最短路徑。如何去求得這些最短路徑，Dijkstra算法提出了一種按路徑長度遞增的次序產生最短路徑的方案。而對於求解圖G中每一對頂點之間的最短路徑，其解決方案是重複執行Dijkstra算法n次，這樣便可以求解且時間複雜度爲O(n^3)。本文僅討論單源點最短路徑問題。

2. 應用

我這個人比較實用主義，一個東西我最先好奇的是它能完成什麼工作，其次是再去了解它的原理。Dijkstra算法是求所有最短路徑類問題的基本算法。地圖導航、12306、還有身邊的各種通訊網管佈局、包括你們此刻在閱讀這篇文章時候個人主機網絡節點的選取，都用到了Dijkstra算法。

3.原理

（1）利用n*n階帶權的鄰接矩陣arcs來表示帶權有向圖，arcs[i][j]表示弧<vi, vj>上的權值。若<vi,vj>不存在，則用INFINITE表示。再設S爲已找到從v0出發的最短路徑的終點的集合，它的初始值是｛v0｝。引入數組D[]，其中的每一個值D[i]分別是v0到vi的最短路徑長度。

（2）第一步首先列出所有能從v0直達的頂點，從中選出Min對應的頂點，添加進S集合當中，同時可得對應的D[i]。

（3）接着逐步連通v0與其他頂點，但注意一點，如果有中間節點，則中間節點必須從S集合當中選取。（因爲按照S集合特性，每一條最短路徑不是弧<v0, vi>本身，就是中間經過S中的頂點vj而到達的vi，這點利用反證法易得）即

D[i]=Min{D[k]|vk屬於S};

S = S U {i};

(4)if D[j] + arcs[j][i] < D[i] then D[i] = D[j] + arcs[j][i];

(5)重複第3、4步驟共n-1個頂點即n-1次，結束，D[]即爲所求。

4.實戰

昨日好友發來一道題，恰好我第一想到的解決方法是用Dijkstra。但想歸想，做又是一碼事！慚愧的是許久未用早已忘記，而且又虎虎點開了文獻二的博客看到了別人家的源碼，於是長嘆一聲默默地放下了手中的辣條。

先給題目--

於是在借鑑文獻二的基礎下，給出了下面的源碼。

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15/3/26修正：把源碼貼出來後果然有好處，這不就被好友們糾錯了:)。下面這個解法沒有考慮到最短路徑存在多條問題，因此就是WA。但也算是一種思路，參考領會我的意思即可，等過陣子有時間了再想想，先這樣。

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#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stack>

using namespace std;

#define MAXLENGTH 100
#define INFINITE 8888
#define NUMBER 10

int matrix[MAXLENGTH][MAXLENGTH];
int shortestlen[MAXLENGTH];
int shortestpath[MAXLENGTH];
int isin[MAXLENGTH];
int ishared[MAXLENGTH];

void Init(int n)
{
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(i == j)
                matrix[i][j] = 0;
            else
                matrix[i][j] = INFINITE;
        }
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        shortestlen[i] = INFINITE;
        shortestpath[i] = 0;
        isin[i] = 0;
        ishared[i] = 0;
    }
}

int main()
{
    int i, X, Y;
    int temp, temp_i, temp_min;
    int count = 0;
    unsigned int people_count = 0;
    Init(NUMBER);
    while(1)
    {
        scanf("%d, %d", &X, &Y);
        if ( 0 == X || 0 == Y)
            break;
        if (X < Y)
            matrix[X][Y] = 1;
        if (X > Y)      //保證了單向性
            matrix[Y][X] = 1;
    }
    isin[1] = 1;
    shortestpath[1] = 1;
    shortestlen[1] = 0;
    for (i = 2; i <= NUMBER; i++)
    {
        shortestlen[i] = matrix[1][i];
        if (shortestlen[i] != INFINITE)
            shortestpath[i] = 1;
    }
    temp_i = 1;

    while (count < NUMBER - 1)
    {
        temp_min = INFINITE;
        for (i = 1; i <= NUMBER; i++)
        {
            if ((isin[i] == 0) && (shortestlen[i] < temp_min))
            {
                temp_min = shortestlen[i];
                temp_i = i;
            }
        }
        isin[temp_i] = 1;

        for (i = 1; i <= NUMBER; i++)
        {
            if ((isin[i] == 0) && (temp_min + matrix[temp_i][i] < shortestlen[i]))
            {
                shortestlen[i] = temp_min + matrix[temp_i][i];
                shortestpath[i] = temp_i;
            }
        }
        count++;
    }

    stack<int> S;
    for (i = 2; i <= NUMBER; i++)
    {
        temp = i;
        if (0 == shortestpath[temp])
        {
            printf("no path\n");
            continue;
        }
        while (shortestpath[temp] != 1)
        {
            S.push(shortestpath[temp]);
            temp = shortestpath[temp];
        }
        printf("1-->");
        while (!S.empty())
        {
            printf("%d-->", S.top());
            if (!ishared[S.top()])
                ishared[S.top()] = 1;
            S.pop();
        }
        printf("%d min length is %d\n", i, shortestlen[i]);
    }
    for (i = 1; i <= NUMBER; i++)
        if (ishared[i])
            people_count ++;

    printf("======\n%d\n", people_count);
    return 0;
}

運行結果是

*有錯誤的地方還請指出，有更優的解法歡迎分享。

5.reference

[1]《數據結構》.嚴蔚敏

[2]http://blog.csdn.net/cyg0810/article/details/8192579