在我剛聽到堆這個名詞的時候，我認爲它是一堆東西的集合．．．
但其實吧它是利用完全二叉樹的結構來維護一組數據，然後進行相關操作，一般的操作進行一次的時間複雜度在
O(1)~O(logn)之間。
可謂是相當的引領時尚潮流啊(我不信學信息學的你看到log和1的時間複雜度不會激動一下下)！。
什麼是完全二叉樹呢？別急着去百度啊，要百度我幫你百度：
若設二叉樹的深度爲h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第 h 層所有的結點都連續集中
在最左邊，這就是完全二叉樹。我們知道二叉樹可以用數組模擬，堆自然也可以。
現在讓我們來畫一棵完全二叉樹：
從圖中可以看出，元素的父親節點數組下標是本身的1/2(只取整數部分)，所以我們很容易去模擬，也很
容易證明其所有操作都爲log級別~~
堆還分爲兩種類型：大根堆、小根堆
顧名思義，就是保證根節點是所有數據中最大/小，並且盡力讓小的節點在上方
不過有一點需要注意：堆內的元素並不一定數組下標順序來排序的！！很多的初學者會錯誤的認爲大/小根堆中
下標爲1就是第一大/小，2是第二大/小……
原因會在後面解釋，現在你只需要深深地記住這一點！
我們剛剛畫的完全二叉樹中並沒有任何元素，現在讓我們加入一組數據吧！
下標從1到9分別加入：{8，5，2，10，3，7，1，4，6}。
如下圖所示
（不要問我怎麼加，想想你是怎麼讀入數組的。）
我們可以發現這組數據是雜亂無章的，我們該如何去維護呢？
現在我就來介紹一下堆的幾個基本操作：
-
- 上浮 shift_up；
- 下沉 shift_down
- 插入 push
- 彈出 pop
- 取頂 top
- 堆排序 heap_sort
學習C/C++的同學有福利了，堆的代碼一般十分之長，而我們偉大的STL模板庫給我們提供了兩種簡單方便堆操作的方式，
想學習的可以看看這個：http://www.cnblogs.com/helloworld-c/p/4854463.html 密碼:
abcd111
我個人建議吧，起碼知道一下實現的過程，STL只能是錦上添花，絕不可以雪中送炭!!
萬一哪天要你模擬堆的某一操作過程，而你只知道STL卻不知道原理，看不出這個題目是堆，事後和其他OIer
討論出題解，那豈不是砍舌頭吃苦瓜，哭得笑哈哈。
那麼我們開始講解操作過程吧，我們以小根堆爲例
剛剛那組未處理過的數據中我們很容易就能看出，根節點1元素8絕對不是最小的
我們很容易發現它的一個兒子節點3(元素2)比它來的小，我們怎麼將它放到最高點呢？很簡單，直接交換嘛~~
但是，我們又發現了，3的一個兒子節點7(元素1)似乎更適合在根節點。
這時候我們是無法直接和根節點交換的，那我們就需要一個操作來實現這個交換過程，那就是上浮 shift_up。
操作過程如下：
從當前結點開始，和它的父親節點比較，若是比父親節點來的小，就交換，
然後將當前詢問的節點下標更新爲原父親節點下標；否則退出。
模擬操作圖示:
僞代碼如下：
Shift_up( i ) { while( i / 2 >= 1) { if( 堆數組名[ i ] < 堆數組名[ i/2 ] ) { swap( 堆數組名[ i ] , 堆數組名[ i/2 ]) ; i = i / 2; } else break; ｝
這一次上浮完畢之後呢，我們又發現了一個問題，貌似節點3(元素8)不太合適放在那，而它的子節點7(元素2)
好像才應該在那個位置。
此時的你應該會說:“賜予我力量，讓節點7上浮吧，我是OIer！”
然而，上帝(我很不要臉的說是我)賜予你另外一種力量，讓節點3下沉！
那麼問題來了：節點3應該往哪下沉呢？
我們知道，小根堆是盡力要讓小的元素在較上方的節點，而下沉與上浮一樣要以交換來不斷操作，所以我們應該
讓節點7與其交換。
由此我們可以得出下沉的算法了：
讓當前結點的左右兒子(如果有的話)作比較，哪個比較小就和它交換，
並更新詢問節點的下標爲被交換的兒子節點下標，否則退出。
模擬操作圖示：
僞代碼如下：
Shift_down( i , n ) //n表示當前有n個節點 { while( i * 2 <= n) { T = i * 2 ; if( T + 1 <= n && 堆數組名[ T + 1 ] < 堆數組名[ T ]) T++; if( 堆數組名[ i ] < 堆數組名[ T ] ) { swap( 堆數組名[ i ] , 堆數組名[ T ] ); i = T; } else break; }
講完了上浮和下沉，接下來就是插入操作了~~~~
我們前面用的插入是直接插入，所以數據纔會雜亂無章，那麼我們如何在插入的時候邊維護堆呢？
其實很簡單，每次插入的時候呢，我們都往最後一個插入，讓後使它上浮。
(這個不需要圖示了吧…)
僞代碼如下：
Push ( x ) { n++; 堆數組名[ n ] = x; Shift_up( n ); }
咳咳，說完了插入，我們總需要會彈出吧~~~~~
彈出，顧名思義就是把頂元素彈掉，但是，彈掉以後不是羣龍無首嗎？？
我們如何去維護這堆數據呢?
稍加思考，我們不難得出一個十分巧妙的算法：
讓根節點元素和尾節點進行交換，然後讓現在的根元素下沉就可以了!
(這個也不需要圖示吧…)
僞代碼如下：
Pop ( x ) { swap( 堆數組名[1] , 堆數組名[ n ] ); n--; Shift_down( 1 ); }
接下來是取頂…..我想不需要說什麼了吧，根節點數組下標必定是1，返回堆[ 1 ]就OK了~~
注意：每次取頂要判斷堆內是否有元素，否則..你懂的
圖示和僞代碼省略，如果你這都不會那你可以重新開始學信息學了，當然如果你是小白….這種稍微高級的數據
結構還是以後再說吧。
說完這些，我們再來說說堆排序。之前說過堆是無法以數組下標的順序來來排序的對吧?
所以我個人認爲呢，並不存在堆排序這樣的操作，即便網上有很多堆排序的算法，但是我這裏有個更加方便的算法：
開一個新的數組，每次取堆頂元素放進去，然後彈掉堆頂就OK了~
僞代碼如下：
Heap_sort( a[] ) { k=0; while( size > 0 ) { k++; a[ k ] = top(); pop(); } }
堆排序的時間複雜度是O(nlogn)理論上是十分穩定的，但是對於我們來說並沒有什麼卵用。
我們要排序的話，直接使用快排即可，時間更快，用堆排還需要O(2*n)的空間。這也是爲什麼我說堆的操作
時間複雜度在O(1)~O(logn)。
講完到這裏，堆也基本介紹完了，那麼它有什麼用呢？？
舉個粒子，比如當我們每次都要取某一些元素的最小值，而取出來操作後要再放回去，重複做這樣的事情。
我們若是用快排的話，最壞的情況需要O(q*n^2)，而若是堆，僅需要O(q*logn)，時間複雜度瞬間低了不少。
還有一種最短路算法——Dijkstra，需要用到堆來優化，這個算法我後面會找個時間介紹給大家。
最後附上我寫的一份堆操作的代碼(C++)：
HEAP
CODE
推薦一道堆的基本操作的題目：
CODEVS 1063 合併果子 ：http://codevs.cn/problem/1063