哈希（蛤鉿）

哈希

——————————18.5.14更新

——————————18.5.15更新 哈希的判斷

哈希是神馬東西呢。。。。簡單來說它是一個函數啦。。。就這麼樣（好難呀）

哈希的簡介

它是將一個複雜的字符串用一個函數將它映射成一個數字的過程。哈希的函數有很多，也很玄學，因爲它看起來很容易錯，有很多反例，但是它就是不錯。它主要用於判斷兩個字符串是否相等，具體地實現是判斷兩個字符的哈希函數的值是否一樣即可。

哈希的函數

一下函數都是針對一個字符串A的：(其中p$p$ 是質數，len$len$ 爲字符串長度,cntAi$cn{t}_{A_i}$ 爲該位字符在該字符串中出現次數)

hash(A)=∑i=1lenAi∗pi$$hash(A)=\sum _{i=1}^{len}{A}_i\ast p^i$$

hash(A)=∑i=1lenAi∗plen−i$$hash(A)=\sum _{i=1}^{len}{A}_i\ast p^{len-i}$$

還有一個特殊的一個函數：

hash(A)=∑i=1lenAi∗pcntAi$$hash(A)=\sum _{i=1}^{len}{A}_i\ast p^{cn{t}_{A_i}}$$

兩個字符串的hash值相同，我們就可以認爲兩個字符串相等。

具體實現哈希的方法

1.取模

首先我們要取兩個很棒的質數p,mod，p表示哈希函數中的p，mod是hash函數的取模（因爲哈希函數的值十分大，取模才能比較大小,而且mod比p的選取更加重要）
這裏介紹幾個很棒的質數：（mod=1234321237，998244353）（p=1e9+7,1e9+9）
代碼:

long long hash[maxn],p,mod;//longlong避免溢出 
void gethash(string a){
    int i,len=a.length();
    hsh[0]=a[0];
    for(i=1;i<len;i++)
        hsh[i]=((hsh[i-1]*p)%mod+a[i])%mod;//計算從首位到該位構成的子串的hash值 
}

2.自然溢出（稍微比取模好）

運用longlong有上限的功能，將hash值模longlong的上限，常數更小。（要用到unsigned long long,因爲它取不到負數）
代碼：

unsigned long long hash[maxn],p;//unsigned long long 取不到負數 
void gethash(string a){
    int i,len=a.length();
    hsh[0]=a[0];
    for(i=1;i<len;i++)
        hsh[i]=hsh[i-1]*pa[i];//計算從首位到該位構成的子串的hash值 
}

哈希的技巧

1.O（1）$O（1）$ 計算A中A[l]至A[r]的hash值

想一想我們之前算出的hash值儲存方式中每個數組的值是什麼？：

hash(k)=∑i=1kai∗plen−i$$hash(k)=\sum _{i=1}^k{a}_i\ast p^{len-i}$$

hash(子串（l,r）)=∑i=lrai∗pr−i=∑i=1rai∗pr−i−∑i=1lai∗pl−i∗pr−l$$hash(子串（l,r）)=\sum _{i=l}^r{a}_i\ast p^{r-i}=\sum _{i=1}^r{a}_i\ast p^{r-i}-\sum _{i=1}^l{a}_i\ast p^{l-i}\ast p^{r-l}$$

可推得：

hash(子串（l,r）)=hash（r）−hash(l−1)∗pr−l$$hash(子串（l,r）)=hash（r）-hash(l-1)\ast p^{r-l}$$

而p的次冪可以數組預處理儲存，就O（1）$O（1）$ 計算了。在線計算是O（logn）$O（logn）$ 的
當然，也可以推得前面另一種hash函數的A[l]-A[r]的值，不過要求出逆元，要複雜一些（玄學出錯）。

2.雙哈希

有些題的數據很強，哈希很容易被卡（哈希很玄學），所以要用到它。顧名思義，即蛤兩次，比較兩個hash值的大小即可。注意兩個hash函數的mod必須不一樣。

這些就是hash的內容了，以後應該會更哈希樹的內容。