一些dp技巧

纔不告訴你這些學校沒講呢！
都是些算法的簡單思想簡單總結，大佬勿入(嗯，dp開始涉及幾何了)

數位dp:

有的題要求的是一個數中的數字的排列的方式的種數，而並非與數本身有關係。它常常會給你一個區間[l,r]$[l,r]$ 詢問其中有多少個滿足題意的數字，這時就要用數位dp。它是一種記憶化搜索，它的狀態常常是f[i]$f[i]$ 前i位滿足題意的數字個數。同時要注意控制上界。答案就是ans(r)-ans(l-1)。

習題

基礎：HDU 2089 HDU 4734 POJ 3252 HDU 4507
水水水題：HDU 3709 UVA 1305 Hbzoj 1799

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斜率優化：

通常有這樣的問題：f[i]=min(f[j])+a[i],j$f[i]=min(f[j])+a[i],j$ 有限制條件。本來這樣的題是O(n2)$O(n^2)$ 複雜度，但是使用優先隊列就可以降爲O(n)$O(n)$ 了。
但是這樣的方程呢：f[i]=min(f[j]+(a[i]−a[j])2)$f[i]=min(f[j]+(a[i]-a[j]{)}^2)$ 哦豁優先隊列不得行了。
斜率優化是優先隊列的優化。
設我們選擇j$j$ 比k$k$ 時優，即有：f[j]+(a[i]−a[j])2<f[k]+(a[i]−a[k])2$f[j]+(a[i]-a[j]{)}^2<f[k]+(a[i]-a[k]{)}^2$
變形，得：((f[j]+a[j])−(f[k]+a[k]))/(a[j]−a[k])<2a[i]$((f[j]+a[j])-(f[k]+a[k]))/(a[j]-a[k])<2a[i]$ ，此處注ai$a_i$ 要單增。
令兩個點j(a[j],f[j]+a[j])$j(a[j],f[j]+a[j])$ ,k(a[k],f[k]+a[k])$k(a[k],f[k]+a[k])$ 顯然不等式左邊的幾何意義爲點j$j$ 與點k$k$ 的斜率，而j優於k的條件爲斜率小於2a[i]$2a[i]$ ，即斜率越小越好。
然後再用優先隊列維護一個點集，隊列中相鄰兩點的斜率單增（斜率越小越好），然後每次根據上面的不等式維護隊首即可。時間複雜度這時被降爲了O(n)$O(n)$

習題

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決策單調性優化：

沒看懂，以後再更。四邊形不等式撒子鬼玄學嘛！！！！反正用個結論，然後降複雜度呀！

習題不會做呀：

BZOJ1563: [NOI2009]詩人小G
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CDQ分治優化：

CDQ分治本身思想是：把一個求解的區間[l,r]$[l,r]$ 分爲[l,mid]$[l,mid]$ 與[mid+1,r]$[mid+1,r]$ 兩個區間求解，然後在合併答案時考慮他們對答案多餘的貢獻，進而求解出[l,r]$[l,r]$ 的答案。
dp中的優化大概是區間dp的優化吧：大概可以把O(n2)$O(n^2)$ 降爲O(nlog2n)$O(nlo{g}_{2}n)$ 沒看到例題呢。

習題：

bzoj 2253: [2010 Beijing wc]紙箱堆疊
bzoj1492

Orz—-終於寫完了。