數論總結

總結一波數論基礎知識。。。。大佬勿入

拓展歐幾里得：

這麼水，直接上代碼比較方便：

LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //求解一個方程：ax+by=gcd(a,b)的一組特解。
    {LL x1,y1,d; 
    if(b==0) //若b爲0顯然此時x=1，y=0
        {x=1;y=0;return a; 
        } 
    d=ex_gcd(b,a%b,x1,y1);//將求解轉化爲求解方程：bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)，順便求一下gcd(a,b)
    x=y1;y=x1-a/b*y1; //將得到的解轉化一下。
    return d; 
    }

乘法逆元

定義：記數x$x$ 在模k$k$ 意義下的乘法逆元爲x−1$x^{-1}$ ,即滿足模方程：x∗x−1=1(mod,k)$x\ast x^{-1}=1(mod,k)$
逆元在求模數時十分有用。
注:有的數可能沒有乘法逆元

求法1：

根據歐拉定理可得：對於任意整數n$n$ ，均存在：xϕ(n)=1(mod,n)$x^{\varphi (n)}=1(mod,n)$
故:x∗xϕ(n)−1=1(mod,n)$x\ast x^{\varphi (n)-1}=1(mod,n)$ 所以任意數x$x$ 模n$n$ 意義下的的乘法逆元爲：xϕ(n)−1$x^{\varphi (n)-1}$
用快速冪求解即可。時間複雜度：O(log2n)$O(lo{g}_{2}n)$
注：一般只用於n$n$ 素數時，歐拉函數難得算，但是素數時ϕ(p)=p−1$\varphi (p)=p-1$ ,考試時一般用的是素數
~~不用貼代碼了吧。。。水的很~~

求法2：

我們將模方程換一個方式寫下：x∗x−1=1+k∗n,n顯然爲整數$x\ast x^{-1}=1+k\ast n,n顯然爲整數$
移項得：

x∗x−1−k∗n=1$$x\ast x^{-1}-k\ast n=1$$

其中x−1與n$x^{-1}與n$ 爲未知數，是不是很像方程：ax+by=1?
於是就可以用拓展歐幾里得求解x在k下的逆元，注意x與k$x在k下的逆元，注意x與k$ 如果不互質，要除掉gcd。

組合數

還是解釋一下吧：
Cmn爲在n個元素中選取m個個元素出來且不考慮元素的排列順序的方案數$C_n^m爲在n個元素中選取m個個元素出來且不考慮元素的排列順序的方案數$

Cmn=n!/(m!∗(n−m)!)=Cmn−1+Cm−1n−1=Cm−1n∗（n−m+1）/m$$C_n^m=n!/(m!\ast (n-m)!)=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}=C_n^{m-1}\ast （n-m+1）/m$$

好了就這樣吧。

求法1：數據小時打表啦

用遞推式遞推即可。

for(i=0;i<=2000;i++)c[i][0]=1;
    for(i=1;i<=2000;i++)
        for(LL j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;

求法2，求解的組合數中有炒雞大的數，比模數還大：盧卡斯定理

盧卡斯定理很難說，直接上代碼：

LL lucas(int x,int y){
    if(x<mod&&y<mod)return C(x,y);
    return (C(x%mod,y%mod)+C(x/mod,y/mod))%mod;
} 

很簡單對不對？剩下的可以用打表法預處理或者預處理階乘求解即可。

求法3沒有辦法的辦法：線性求C：

根據Cmn=Cm−1n∗（n−m+1）/m$C_n^m=C_n^{m-1}\ast （n-m+1）/m$ 線性求，時間複雜度O(n)$O(n)$ ，如果要取餘還要求個逆元就是O(nlog2n)$O(nlo{g}_{2}n)$ 。

void getc(int x,int y){
    LL i,ans=1;
    for(i=1;i<=x;i++)ans=((ans*(y-i+1))%mod*getni(i))%mod;
}

歐拉線性篩模板

還是看代碼吧：在莫比烏斯反演中非常有用

int pi[100010],prime[100010];
bool mark[100010]
void getpi(){//歐拉線性篩，求解歐拉函數與質數
    int cnt=0,i,j;
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(!mark[i]){
            prime[++cnt]=i;//若當前數沒被篩到，則它是質數。
            pi[i]=i-1;//質數的歐拉函數是該數減1 
            }
        for(j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n){
            mark[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                pi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else pi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//分類討論枚舉 
        }
    }
}

時間複雜度O(n)$O(n)$ 時間用的很少的暴力篩。

順便一提：歐拉函數與歐拉定理

歐拉函數：ϕ(n)$\varphi (n)$ 爲比n小且與n互質的數字個數。它的性質多得不得了。
歐拉定理：

xϕ(n)=1(mod,n)$$x^{\varphi (n)}=1(mod,n)$$

這個沒多大用處的。但是，它可以壓縮快速冪的計算複雜度：

ab=ab%ϕ(k)(mod,k),gcd(a,p)=1$$a^b=a^{b\mathrm{\%}\varphi (k)}(mod,k),gcd(a,p)=1$$

條件太苛刻了，於是又有拓展：

ab=ab%ϕ(k)+ϕ(k)(mod,k)$$a^b=a^{b\mathrm{\%}\varphi (k)+\varphi (k)}(mod,k)$$

中國剩餘定理：

對於一個數x$x$ ，對於所有i$i$ 滿足：

x=bi(mod,wi)$$x=b_i(mod,w_i)$$

則它的最小正整數解爲：
令P=∏n1wi$P=\prod _1^n{w}_i$ ,Mi=P/Wi$M_i=P/W_i$ ,M−1i$M_i^{-1}$ 爲Mi$M_i$ 在模wi$w_i$ 意義下的逆元。
則

x=∑(Mi×M−1i×bi)%P$$x=\sum (M_i\times M_i^{-1}\times b_i)\mathrm{\%}P$$