哈希（蛤铪）

哈希

——————————18.5.14更新

——————————18.5.15更新 哈希的判断

哈希是神马东西呢。。。。简单来说它是一个函数啦。。。就这么样（好难呀）

哈希的简介

它是将一个复杂的字符串用一个函数将它映射成一个数字的过程。哈希的函数有很多，也很玄学，因为它看起来很容易错，有很多反例，但是它就是不错。它主要用于判断两个字符串是否相等，具体地实现是判断两个字符的哈希函数的值是否一样即可。

哈希的函数

一下函数都是针对一个字符串A的：(其中p$p$ 是质数，len$len$ 为字符串长度,cntAi$cn{t}_{A_i}$ 为该位字符在该字符串中出现次数)

hash(A)=∑i=1lenAi∗pi$$hash(A)=\sum _{i=1}^{len}{A}_i\ast p^i$$

hash(A)=∑i=1lenAi∗plen−i$$hash(A)=\sum _{i=1}^{len}{A}_i\ast p^{len-i}$$

还有一个特殊的一个函数：

hash(A)=∑i=1lenAi∗pcntAi$$hash(A)=\sum _{i=1}^{len}{A}_i\ast p^{cn{t}_{A_i}}$$

两个字符串的hash值相同，我们就可以认为两个字符串相等。

具体实现哈希的方法

1.取模

首先我们要取两个很棒的质数p,mod，p表示哈希函数中的p，mod是hash函数的取模（因为哈希函数的值十分大，取模才能比较大小,而且mod比p的选取更加重要）
这里介绍几个很棒的质数：（mod=1234321237，998244353）（p=1e9+7,1e9+9）
代码:

long long hash[maxn],p,mod;//longlong避免溢出 
void gethash(string a){
    int i,len=a.length();
    hsh[0]=a[0];
    for(i=1;i<len;i++)
        hsh[i]=((hsh[i-1]*p)%mod+a[i])%mod;//计算从首位到该位构成的子串的hash值 
}

2.自然溢出（稍微比取模好）

运用longlong有上限的功能，将hash值模longlong的上限，常数更小。（要用到unsigned long long,因为它取不到负数）
代码：

unsigned long long hash[maxn],p;//unsigned long long 取不到负数 
void gethash(string a){
    int i,len=a.length();
    hsh[0]=a[0];
    for(i=1;i<len;i++)
        hsh[i]=hsh[i-1]*pa[i];//计算从首位到该位构成的子串的hash值 
}

哈希的技巧

1.O（1）$O（1）$ 计算A中A[l]至A[r]的hash值

想一想我们之前算出的hash值储存方式中每个数组的值是什么？：

hash(k)=∑i=1kai∗plen−i$$hash(k)=\sum _{i=1}^k{a}_i\ast p^{len-i}$$

hash(子串（l,r）)=∑i=lrai∗pr−i=∑i=1rai∗pr−i−∑i=1lai∗pl−i∗pr−l$$hash(子串（l,r）)=\sum _{i=l}^r{a}_i\ast p^{r-i}=\sum _{i=1}^r{a}_i\ast p^{r-i}-\sum _{i=1}^l{a}_i\ast p^{l-i}\ast p^{r-l}$$

可推得：

hash(子串（l,r）)=hash（r）−hash(l−1)∗pr−l$$hash(子串（l,r）)=hash（r）-hash(l-1)\ast p^{r-l}$$

而p的次幂可以数组预处理储存，就O（1）$O（1）$ 计算了。在线计算是O（logn）$O（logn）$ 的
当然，也可以推得前面另一种hash函数的A[l]-A[r]的值，不过要求出逆元，要复杂一些（玄学出错）。

2.双哈希

有些题的数据很强，哈希很容易被卡（哈希很玄学），所以要用到它。顾名思义，即蛤两次，比较两个hash值的大小即可。注意两个hash函数的mod必须不一样。

这些就是hash的内容了，以后应该会更哈希树的内容。