【算法-簡單數學問題】- 素數表的獲取(簡單方法和埃式篩法)

素數與素數表基本概念

素數又稱爲質數，是指除了1和本身之外，不能被其他數整除的一類數。注意： 1既不是素數，也不是合數。

直接對於一定範圍內的素數進行判定求取素數表，採用直接簡單遍歷的方式，這樣的時間複雜度爲O(n)，那麼如果使用加快的方法可以這樣分析：
如果在2 ~ n-1中存在n的約數，那麼不妨設這個約數爲k，那麼由k*(n/k) ==n可知，n/k也是n的一個約數，並且k與n/k必然一個小於sqrt(n)，而另一個大於sqrt(n)，通過這樣的思路就可以降低算法的複雜度。

示例代碼:

bool isPrime(int n) {
    if(n <= 1) return false; // 特判
    int sqr = (int)sqrt(1.0 * n);  //求得根號n
    for(int i = 2; i < sqr; i++) {  // 遍歷2~根號n
        if(n % i == 0) return false; // n是i的倍數，則n不是素數
    }
    return true; // n是素數
}

上述代碼照片那個，sort的作用是爲一個浮點數開根號，需要添加math.h頭文件。

由於sqrt的參數要求是浮點數，因此在n前面需要乘上1.0使其變成浮點型。

素數表的獲取

用以上的方法實現素數表的獲取，時間複雜度爲O(n*根號n)
如果出現大範圍素數表需要求解，以上解法將力不從心，所以可以使用各種“篩法”，其中“埃式篩法”是最簡單的一種。

其實“埃式篩法”就是如果我發現了某一個數是一個素數，那麼這個數的所有倍數，都不是素數了，就把這些倍數全部篩掉了。這裏拿一個例題講解：

求正整數M~N之間的所有素數：

算法代碼：

#include <stdio.h>
const int maxn = 1000001;
int prime[maxn], num = 0;
bool p[maxn] = {0};
void Find_Prime (int n) {
    for(int i = 2; i < maxn; i++) {
        if(p[i] == false) {
            prime[num++] = i;
            // 只需要n個素數，因此超時即可結束
            if(num >= n) break;
            for(int j = i + i; j < maxn; j +=i) {
                p[j] = true;// 都不是素數
            }
        }
    }
}

int main() {
    int m, n, count = 0;
    scanf("%d%d", &m, &n);
    Find_Prime(n);
    // 輸出從第m個素數至第n個素數
    for(int i = m; i <= n; i++) {
        // 下標從0開始
        printf("%d",prime[i - 1]);
        count++;
        if(count % 10 != 0 && i < n) printf(" ");
        else printf("\n");
    }
    return 0;
}

這裏需要注意的幾點：

• 1不是素數
• 素數表長至少要比n大1
• 在Find+Prime()函數中要特別留意i < maxn不能寫成i <= maxn
• main函數中要記得調用Find_Prime()，不然不會出現結果