數據結構基礎(16) --樹與二叉樹

樹的基本術語

1.結點:{數據元素+若干指向子樹的分支}

2.結點的度:分支的個數（子樹的個數）

3.樹的度:樹中所有結點的度的最大值

4.葉子結點:度爲零的結點

5.分支結點:度大於零的結點(包含根和中間結點)

6.(從根到結點的)路徑：由從根到該結點所經分支和結點構成;

7.結點的層次:假設根結點的層次爲1,則根的孩子爲第2層，如果某節點在第L層,則其子樹的根在L+1層。

8.樹的深度:樹中葉子結點所在的最大層次;

 

二叉樹

    二叉樹或爲空樹，或是由一個根結點加上兩棵分別稱爲左子樹和右子樹的、互不交的二叉樹組成。(樹的度最大爲2)

二叉樹的重要性質:

性質1:在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點(i≥1);

性質2:深度爲 k 的二叉樹上至多含 (2^k)-1個結點(k≥1);

性質3:對任何一棵二叉樹，若它含有n0 個葉子結點（0度結點）、n2 個度爲 2的結點，則必存在關係式：n0 = n2+1。

 

兩類特殊的二叉樹:

  滿二叉樹:指的是深度爲k且含有(2^k)-1個結點的二叉樹。

  完全二叉樹:樹中所含的 n 個結點和滿二叉樹中編號爲 1 至 n 的結點一一對應。(編號的規則爲，由上到下，從左到右。如上圖所示)

    完全二叉樹的特點：

1.葉子節點出現在最後2層

2.對於任意結點，若其右分支下的子孫的最大層次爲L,則左分支下的子孫的最大層次爲L或L+1;

 

性質4:具有n個結點的完全二叉樹的深度爲[logn](向下取整)+1。

性質5:若對含 n 個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號爲 i 的結點：

(1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親，否則，編號爲 [i/2](向下取整)的結點爲其雙親結點；
(2) 若 2i>n，則該結點無左孩子，否則，編號爲 2i 的結點爲其左孩子結點；
(3) 若 2i+1>n，則該結點無右孩子結點，否則，編號爲2i+1 的結點爲其右孩子結點。

 

二叉樹的鏈式存儲實現

說明:

    由於這篇博客僅僅是爲了演示二叉樹的理論, 因此代碼所做的封裝性以及可用性都不理想, 但由於在實際應用中, 也基本上不可能這樣直接的使用二叉樹, 因此也就沒怎麼優化他, 在此首先給大家說聲抱歉;

 

二叉樹節點構造

template <typename Type>
class TreeNode
{
    friend class BinaryTree<Type>;
//因爲此處僅僅是爲了演示, 因此將之定義爲public
public:
    TreeNode(const Type &_data = Type(), TreeNode *_left = NULL, TreeNode *_right = NULL)
        : data(_data), leftChild(_left), rightChild(_right) { }

    Type data;
    TreeNode *leftChild;
    TreeNode *rightChild;
};

二叉樹構造:

template <typename Type>
class BinaryTree
{
public:
    //二叉樹可以進行的操作
    BinaryTree():root(NULL) {}
    bool isEmpty() const
    {
        return root == NULL;
    }
    //先序遍歷
    void preOrder() const
    {
        return preOrder(root);
    }
    //中序遍歷
    void inOrder() const
    {
        return inOrder(root);
    }
    //後續遍歷
    void postOrder() const
    {
        return postOrder(root);
    }
    //層次遍歷
    void levelOrder() const;

private:
    void preOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
    void inOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
    void postOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;
    void visit(const TreeNode<Type> *node) const;

//因爲此處僅僅是爲了演示, 因此將之定義爲public
public:
    TreeNode<Type> *root;
};

先(根)序的遍歷算法：

1.若二叉樹爲空,則直接返回;

2.否則

    (1)訪問根結點(visit);

    (2)先序遍歷左子樹;

    (3)先序遍歷右子樹;

//實現
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::preOrder(const TreeNode<Type> *subTree) const
{
    if (subTree != NULL)
    {
        visit(subTree);

        preOrder(subTree->leftChild);
        preOrder(subTree->rightChild);
    }
}

中(根)序的遍歷算法：

1.若二叉樹爲空樹，則空操作；

2.否則

    (1)中序遍歷左子樹；

    (2)訪問根結點；

    (3)中序遍歷右子樹。

//實現
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::inOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const
{
    if (subTree != NULL)
    {
        inOrder(subTree->leftChild);
        visit(subTree);
        inOrder(subTree->rightChild);
    }
}

後(根)序的遍歷算法：

1.若二叉樹爲空樹，則空操作；

2.否則

    (1)後序遍歷左子樹；

    (2)後序遍歷右子樹；

    (3)訪問根結點。

//實現
template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::postOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const
{
    if (subTree != NULL)
    {
        postOrder(subTree->leftChild);
        postOrder(subTree->rightChild);
        visit(subTree);
    }
}

層次遍歷算法與visit操作：

template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::levelOrder() const
{
    std::queue< TreeNode<Type>* > queue;
    queue.push(root);

    while (!queue.empty())
    {
        TreeNode<Type> *currentNode = queue.front();
        queue.pop();

        visit(currentNode);
        if (currentNode->leftChild != NULL)
            queue.push(currentNode->leftChild);
        if (currentNode->rightChild != NULL)
            queue.push(currentNode->rightChild);
    }
}

template <typename Type>
void BinaryTree<Type>::visit(const TreeNode<Type> *currentNode) const
{
    cout << currentNode->data << ' ';
}

二叉樹構造與運用示例

構造一顆如下的二叉樹:

//代碼如下
int main()
{
    BinaryTree<char> tree;
    TreeNode<char> addition('+'), subtraction('-'), multiplies('*'), divides('/');
    TreeNode<char> a('A'), b('B'), c('C'), d('D'), e('E');

    tree.root = &addition;
    addition.leftChild = &subtraction;
    addition.rightChild = &e;
    subtraction.leftChild = &multiplies;
    subtraction.rightChild = &d;
    multiplies.leftChild = ÷s;
    multiplies.rightChild = &c;
    divides.leftChild = &a;
    divides.rightChild = &b;

    cout << "preOrder: ";
    tree.preOrder();
    cout << endl;
    cout << "inOrder: " ;
    tree.inOrder();
    cout << endl;
    cout << "postOrder: ";
    tree.postOrder();
    cout << endl;

    cout << "level Order";
    tree.levelOrder();
    cout << endl;

    return 0;
}

遍歷算法的應用舉例

    1.統計二叉樹中葉子結點的個數(先序遍歷)

    2.求二叉樹的深度(後序遍歷)

    3.複製二叉樹(後序遍歷)