歐拉函數的定義：phi（n）表示在1~n中與n互質的數
難點：
& 與平常的遞推唯一不同的是：遞推不是由（n-1）推來，這給想出推理過程帶來了麻煩
& 如何充分使用互質這個概念，不像其他遞推能夠容易的列出遞推關係
分析：
&對互質的挖掘：
& 兩個數的最大公約數（a，b）爲 1 （ （a，b）表示a，b的最大公約數）
& 對構成b的所有素因子，a都不能整除它們
由這裏可以得到一個很顯然的推論：如果構成a，b的素因子集合相同，那麼任意的一個數與a，b的關係是： 同時與其互質或者同時不與其互質
& 上面經常出現的字眼“素因子”，是否在提示我們遞推式與素因子有關呢？
假設： n=p*m (p 爲素數)
提示我們：phi（n），phi（m）是否存在遞推式呢？
答案是肯定的：
（1）1~n中與m互質的數目與phi（m）有什麼關係呢？
將1~n 可以分成p份： （1，m） ， （m+1，2m），……（ (p-1)*m，p*m ）
爲何這樣分呢？ 你將發現 每份中與m互質的數目是相同的
因爲 如果 （b，m）=1，那麼（b+t*m，m）=1（ b+t*m 無法整除m中任意素因子，模運算的分配率）
（2） 現在考慮一個問題：（b，m）=1，那麼（b，n）=1麼？
從剛剛的互質出發： 如果構成m的素因子集合包含p，那麼構成n，m的素因子集合是相同的，
因此上式成立，否則當b能整除p時，上面顯然不成立（存在公有素因子p）。故：
m%p=0時 ：phi（n）=phi（m）*p（一共有p份）
m%p！=0時：phi（n）=phi（m）*p-{與m互質但是p的倍數的數}
{與m互質但是p的倍數的數}=phi（m）（p，2*p，3*p，……，m*p中選取，等效1~m求與m互質的數目）
這phi（n）=phi（m）*（p-1）
最終得到遞推式：
m%p=0時 ：phi（n）=phi（m）*p
m%p！=0時：phi（n）=phi（m）*（p-1）
遞推求出通項公式：
phi（n）=∏ pi^（ki-1）*（pi-1） ({pi}爲n的所有素因子)