[NOIP2017模擬]迴文數字

2017.11.9 T1 2048

題目描述
Tom 最近在研究迴文數字。
假設 s[i] 是長度爲 i 的迴文數個數（不含前導0），則對於給定的正整數 n 有：

以上等式中最後面的括號是布爾表達式，Tom 想知道S[n] mod 233333 的值是多少。

輸入格式
第一行一個正整數 T 。
接下來輸出共 T 行，每行一個正整數 n 。

輸出格式
輸出共 T 行，每行一個整數，表示 S[n] mod 233333 。

樣例數據
輸入

1
2

輸出

9

備註
【數據規模與約定】
對於 30% 的數據：n≤5 。
對於另 20% 的數據：∑n≤107 。
對於另 20% 的數據：T=1 。
對於 100% 的數據：T≤5∗105；n≤109 。

分析：表示看到n竟然有109 ，嚇傻。然後去找規律，還真有（因爲偶數項被bool判斷掉了，我就只找了奇數項的規律，第一個數是n，第二個數是答案，第三個數是取模後）：

然後就誤入歧途，開始瘋狂找取模後的規律（每次加的數都不一樣怎麼可能有規律……）。但找到的這種頭幾位是n-1中間夾(n-1)/2個7末尾9的規律對正解很有幫助，109 只能log出答案，qianguch想到了倍增（真TM是個天才！）！用數組存21−30 個7的這種數的答案，就可以log求解了。
（其實我更糾結於取了模還可以正常運算嗎，事實證明加、減、乘都是可以的）
然而真正的正解是用到了NOI知識的，因爲233333不是質數，要求逆元，由於我寫的是NOIP的總結，就不說了。

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;

int getint()
{
    int sum=0,f=1;
    char ch;
    for(ch=getchar();!isdigit(ch)&&ch!='-';ch=getchar());
    if(ch=='-')
    {
        f=-1;
        ch=getchar();
    }
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())
        sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48;
    return sum*f;
}

const int mo=233333;
int T,n,len;
long long shi[40],sum[40],x,y;

void pre()
{
    shi[0]=10;
    for(int i=1;i<=30;++i)
        shi[i]=(shi[i-1]*shi[i-1])%mo;//先得求有2^k個0的數
    sum[0]=7;
    for(int i=1;i<=30;++i)
        sum[i]=(sum[i-1]+sum[i-1]*shi[i-1])%mo;//現在可以求有2^k個7的數了
}

int main()
{
    freopen("bug.in","r",stdin);
    freopen("bug.out","w",stdout);

    pre();
    T=getint();
    while(T--)
    {
        n=getint();
        if(n%2==0)//偶數判掉
            n=n-1;
        len=n/2;
        x=9,y=10;//先把個位的9加上，y記錄7應該從第幾位開始放
        for(int i=30;i>=0;--i)
            if(len&(1<<i))//倍增找，滿足就加上
            {
                x=(x+sum[i]*y%mo)%mo;//新增2^i個7
                y=(y*shi[i])%mo;//下次再加就要再往前放2^i位了
            }

        x=(x+(long long)(n-1)*y%mo)%mo;//加上最前面的n-1
        cout<<x<<'\n';
    }
    return 0;
}

本題結。