卡爾曼濾波器 – KalmanFilter
1． 什麼是卡爾曼濾波器
（What is the Kalman Filter?）
在學習卡爾曼濾波器之前，首先看看爲什麼叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論（例如傅
立葉變換，泰勒級數等等）一樣，卡爾曼也是一個人的名字，而跟他們不同的是，他是
個現代人！
卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數學家，1930年出生於匈牙利首都布達佩斯。
1953，1954年於麻省理工學院分別獲得電機工程學士及碩士學位。1957年於哥倫比亞大
學獲得博士學位。我們現在要學習的卡爾曼濾波器，正是源於他的博士論文和1960年發
表的論文《A New Approach to LinearFiltering and Prediction Problems》（線性
濾波與預測問題的新方法）。如果對這編論文有興趣，可以到這裏的地址下載： http:
//www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。
簡單來說，卡爾曼濾波器是一個“optimal recursive dataprocessing algorithm（最
優化自迴歸數據處理算法）”。對於解決很大部分的問題，他是最優，效率最高甚至是
最有用的。他的廣泛應用已經超過30年，包括機器人導航，控制，傳感器數據融合甚至
在軍事方面的雷達系統以及導彈追蹤等等。近年來更被應用於計算機圖像處理，例如頭
臉識別，圖像分割，圖像邊緣檢測等等。
2．卡爾曼濾波器的介紹
（Introduction to the KalmanFilter）
爲了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這裏會應用形象的描述方法來講解，而不是像
大多數參考書那樣羅列一大堆的數學公式和數學符號。但是，他的5條公式是其核心內容
。結合現代的計算機，其實卡爾曼的程序相當的簡單，只要你理解了他的那5條公式。
在介紹他的5條公式之前，先讓我們來根據下面的例子一步一步的探索。
假設我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據你的經驗判斷，這個房間的溫度是恆定
的，也就是下一分鐘的溫度等於現在這一分鐘的溫度（假設我們用一分鐘來做時間單位
）。假設你對你的經驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成
是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前後時間是沒有關係的而
且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們在房間裏放一個溫度計，但是
這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲
。
好了，現在對於某一分鐘我們有兩個有關於該房間的溫度值：你根據經驗的預測值（系
統的預測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們要用這兩個值結合他們各自的噪聲來
估算出房間的實際溫度值。
假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的
溫度。因爲你相信溫度是恆定的，所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的
，假設是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出
的最優溫度值的偏差是3，你對自己預測的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是
5）。然後，你從溫度計那裏得到了k時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度
。
由於我們用於估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是
多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covarian
ce來判斷。因爲Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度
值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因爲溫度計的covariance比較小（比較相
信溫度計），所以估算出的最優溫度值偏向溫度計的值。
現在我們已經得到k時刻的最優溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優估
算。到現在爲止，好像還沒看到什麼自迴歸的東西出現。對了，在進入k+1時刻之前，我
們還要算出k時刻那個最優值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。
這裏的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻
以後k時刻估算出的最優溫度值的偏差（對應於上面的3）。
就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優的溫度值。他運
行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalm
an Gain）。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇！
下面就要言歸正傳，討論真正工程系統上的卡爾曼。
3． 卡爾曼濾波器算法
（The Kalman FilterAlgorithm）
在這一部分，我們就來描述源於Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述，會涉及一些
基本的概念知識，包括概率（Probability），隨即變量（Random Variable），高斯或
正態分配（Gaussian Distribution）還有State-space Model等等。但對於卡爾曼濾波
器的詳細證明，這裏不能一一描述。
首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統。該系統可用一個線性隨機微分方程（Li
near Stochastic Difference equation）來描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系統的測量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上兩式子中，X(k)是k時刻的系統狀態，U(k)是k時刻對系統的控制量。A和B是系統參數
，對於多模型系統，他們爲矩陣。Z(k)是k時刻的測量值，H是測量系統的參數，對於多
測量系統，H爲矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設成高斯白噪聲
(White Gaussian Noise)，他們的covariance 分別是Q，R（這裏我們假設他們不隨系統
狀態變化而變化）。
對於滿足上面的條件(線性隨機微分系統，過程和測量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器
是最優的信息處理器。下面我們來用他們結合他們的covariances 來估算系統的最優化
輸出（類似上一節那個溫度的例子）。
首先我們要利用系統的過程模型，來預測下一狀態的系統。假設現在的系統狀態是k，根
據系統的模型，可以基於系統的上一狀態而預測出現在狀態：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態預測的結果，X(k-1|k-1)是上一狀態最優的結果，U
(k)爲現在狀態的控制量，如果沒有控制量，它可以爲0。
到現在爲止，我們的系統結果已經更新了，可是，對應於X(k|k-1)的covariance還沒更
新。我們用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應的cov
ariance，A’表示A的轉置矩陣，Q是系統過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波
器5個公式當中的前兩個，也就是對系統的預測。
現在我們有了現在狀態的預測結果，然後我們再收集現在狀態的測量值。結合預測值和
測量值，我們可以得到現在狀態(k)的最優化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg爲卡爾曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到現在爲止，我們已經得到了k狀態下最優的估算值X(k|k)。但是爲了要另卡爾曼濾波器
不斷的運行下去直到系統過程結束，我們還要更新k狀態下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 爲1的矩陣，對於單模型單測量，I=1。當系統進入k+1狀態時，P(k|k)就是式子(
2)的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自迴歸的運算下去。
卡爾曼濾波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 個基本公式。根據這5
個公式，可以很容易的實現計算機的程序。
下面，我會用程序舉一個實際運行的例子。。。
4． 簡單例子
（A Simple Example）
這裏我們結合第二第三節，舉一個非常簡單的例子來說明卡爾曼濾波器的工作過程。所
舉的例子是進一步描述第二節的例子，而且還會配以程序模擬結果。
根據第二節的描述，把房間看成一個系統，然後對這個系統建模。當然，我們見的模型
不需要非常地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的，所以A=
1。沒有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因爲測量的值是溫度計的，跟溫度直接對應，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
現在我們模擬一組測量值作爲輸入。假設房間的真實溫度爲25度，我模擬了200個測量值
，這些測量值的平均值爲25度，但是加入了標準偏差爲幾度的高斯白噪聲（在圖中爲藍
線）。
爲了令卡爾曼濾波器開始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個零時刻的初始值，是X(0|0)和
P(0|0)。他們的值不用太在意，隨便給一個就可以了，因爲隨着卡爾曼的工作，X會逐漸
的收斂。但是對於P，一般不要取0，因爲這樣可能會令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)
是系統最優的，從而使算法不能收斂。我選了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。
該系統的真實溫度爲25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優化結
果（該結果在算法中設置了Q=1e-6，R=1e-1）。
卡爾曼濾波源程序
#include"stdlib.h"
int klman(n,m,k,f,q,r,h,y,x,p,g)
int n,m,k;
double f[],q[],r[],h[],y[],x[],p[],g[];
{ int i,j,kk,ii,l,jj,js;
double *e,*a,*b;
extern int brinv();
e=malloc(m*m*sizeof(double));
l=m;
if (l<n) l=n;
a=malloc(l*l*sizeof(double));
b=malloc(l*l*sizeof(double));
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ ii=i*l+j; a[ii]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
a[ii]=a[ii]+p[i*n+kk]*f[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ ii=i*n+j; p[ii]=q[ii];
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
p[ii]=p[ii]+f[i*n+kk]*a[kk*l+j];
}
for (ii=2; ii<=k; ii++)
{ for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
a[jj]=a[jj]+p[i*n+kk]*h[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=m-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*m+j; e[jj]=r[jj];
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
e[jj]=e[jj]+h[i*n+kk]*a[kk*l+j];
}
js=brinv(e,m);
if (js==0)
{ free(e); free(a); free(b); return(js);}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*m+j; g[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=m-1; kk++)
g[jj]=g[jj]+a[i*l+kk]*e[j*m+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
{ jj=(ii-1)*n+i; x[jj]=0.0;
for (j=0; j<=n-1; j++)
x[jj]=x[jj]+f[i*n+j]*x[(ii-2)*n+j];
}
for (i=0; i<=m-1; i++)
{ jj=i*l; b[jj]=y[(ii-1)*m+i];
for (j=0; j<=n-1; j++)
b[jj]=b[jj]-h[i*n+j]*x[(ii-1)*n+j];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
{ jj=(ii-1)*n+i;
for (j=0; j<=m-1; j++)
x[jj]=x[jj]+g[i*m+j]*b[j*l];
}
if (ii<k)
{ for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=m-1; kk++)
a[jj]=a[jj]-g[i*m+kk]*h[kk*n+j];
if (i==j) a[jj]=1.0+a[jj];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; b[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
b[jj]=b[jj]+a[i*l+kk]*p[kk*n+j];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
a[jj]=a[jj]+b[i*l+kk]*f[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*n+j; p[jj]=q[jj];
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
p[jj]=p[jj]+f[i*n+kk]*a[j*l+kk];
}
}
}
free(e); free(a); free(b);
return(js);
}