卡尔曼滤波器 – KalmanFilter
1． 什么是卡尔曼滤波器
（What is the Kalman Filter?）
在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅
立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是
个现代人！
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大
学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发
表的论文《A New Approach to LinearFiltering and Prediction Problems》（线性
滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： http:
//www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive dataprocessing algorithm（最
优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是
最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至
在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头
脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍
（Introduction to the KalmanFilter）
为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像
大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容
。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定
的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位
）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成
是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而
且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是
这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声
。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系
统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来
估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的
温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的
，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出
的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是
5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度
。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是
多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covarian
ce来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度
值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相
信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估
算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我
们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。
这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻
以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运
行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalm
an Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！
下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。
3． 卡尔曼滤波器算法
（The Kalman FilterAlgorithm）
在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些
基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或
正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波
器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Li
near Stochastic Difference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数
，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多
测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声
(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统
状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器
是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化
输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根
据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U
(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更
新。我们用P表示covariance：
P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的cov
ariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波
器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和
测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：
Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)
到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器
不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：
P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)
其中I 为1的矩阵，对於单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(
2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。
卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5
个公式，可以很容易的实现计算机的程序。
下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。
4． 简单例子
（A Simple Example）
这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所
举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。
根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型
不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=
1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出：
X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值
，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝
线）。
为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和
P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐
的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)
是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。
该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结
果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。
卡尔曼滤波源程序
#include"stdlib.h"
int klman(n,m,k,f,q,r,h,y,x,p,g)
int n,m,k;
double f[],q[],r[],h[],y[],x[],p[],g[];
{ int i,j,kk,ii,l,jj,js;
double *e,*a,*b;
extern int brinv();
e=malloc(m*m*sizeof(double));
l=m;
if (l<n) l=n;
a=malloc(l*l*sizeof(double));
b=malloc(l*l*sizeof(double));
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ ii=i*l+j; a[ii]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
a[ii]=a[ii]+p[i*n+kk]*f[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ ii=i*n+j; p[ii]=q[ii];
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
p[ii]=p[ii]+f[i*n+kk]*a[kk*l+j];
}
for (ii=2; ii<=k; ii++)
{ for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
a[jj]=a[jj]+p[i*n+kk]*h[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=m-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*m+j; e[jj]=r[jj];
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
e[jj]=e[jj]+h[i*n+kk]*a[kk*l+j];
}
js=brinv(e,m);
if (js==0)
{ free(e); free(a); free(b); return(js);}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=m-1; j++)
{ jj=i*m+j; g[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=m-1; kk++)
g[jj]=g[jj]+a[i*l+kk]*e[j*m+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
{ jj=(ii-1)*n+i; x[jj]=0.0;
for (j=0; j<=n-1; j++)
x[jj]=x[jj]+f[i*n+j]*x[(ii-2)*n+j];
}
for (i=0; i<=m-1; i++)
{ jj=i*l; b[jj]=y[(ii-1)*m+i];
for (j=0; j<=n-1; j++)
b[jj]=b[jj]-h[i*n+j]*x[(ii-1)*n+j];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
{ jj=(ii-1)*n+i;
for (j=0; j<=m-1; j++)
x[jj]=x[jj]+g[i*m+j]*b[j*l];
}
if (ii<k)
{ for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=m-1; kk++)
a[jj]=a[jj]-g[i*m+kk]*h[kk*n+j];
if (i==j) a[jj]=1.0+a[jj];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; b[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
b[jj]=b[jj]+a[i*l+kk]*p[kk*n+j];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*l+j; a[jj]=0.0;
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
a[jj]=a[jj]+b[i*l+kk]*f[j*n+kk];
}
for (i=0; i<=n-1; i++)
for (j=0; j<=n-1; j++)
{ jj=i*n+j; p[jj]=q[jj];
for (kk=0; kk<=n-1; kk++)
p[jj]=p[jj]+f[i*n+kk]*a[j*l+kk];
}
}
}
free(e); free(a); free(b);
return(js);
}