首先定義mex(minimal excludant)運算,這是施加於一個集合的運算,表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如
mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於一個給定的有向無環圖,定義關於圖的每個頂點的Sprague-Grundy函數g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的後繼},這裏的g(x)即
sg[x]。
例如:取石子問題,有1堆n個的石子,每次只能取{1,3,4}個石子,先取完石子者勝利,那麼各個數的SG值爲多少?
sg[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1時,可以取走1-f{1}個石子,剩餘{0}個,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;
x=2時,可以取走2-f{1}個石子,剩餘{1}個,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;
x=3時,可以取走3-f{1,3}個石子,剩餘{2,0}個,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;
x=4時,可以取走4-f{1,3,4}個石子,剩餘{3,1,0}個,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5時,可以取走5-f{1,3,4}個石子,剩餘{4,2,1}個,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;以此類推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
計算從1-n範圍內的SG值。
f(存儲可以走的步數,f[0]表示可以有多少種走法)
f[]需要從小到大排序
1.可選步數爲1~m的連續整數,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);
2.可選步數爲任意步,SG(x) = x;3.可選步數爲一系列不連續的數,用getSG()計算
模板1如下(SG打表):
- //f[]:可以取走的石子個數
- //sg[]:0~n的SG函數值
- //hash[]:mex{}
- int f[N];//可以取走的石子個數
- int sg[N];//0~n的SG函數值
- int Hash[N];
- void getSG(int n){
- memset(sg,0,sizeof(sg));
- for(int i = 1; i <= n; i++){
- memset(Hash,0,sizeof(Hash));
- for(int j = 1; f[j] <= i; j++)
- Hash[sg[i-f[j]]] = 1;
- for(int j = 0; j <= n; j++){ //求mes{}中未出現的最小的非負整數
- if(Hash[j] == 0){
- sg[i] = j;
- break;
- }
- }
- }
- }
- //注意 S數組要按從小到大排序 SG函數要初始化爲-1 對於每個集合只需初始化1遍
- //n是集合s的大小 S[i]是定義的特殊取法規則的數組
- int s[N],sg[N],n;
- bool vis[N];
- int dfs_SG(int x){
- if(sg[x] != -1)
- return sg[x];
- memset(vis,0,sizeof(vis));
- for(int i = 0; i < n; ++i){
- if(x >= s[i]){
- dfs_SG(x-s[i]);
- vis[sg[x-s[i]]] = 1;
- }
- }
- for(int i = 0;; ++i){
- if(!vis[i]){
- e = i;
- return sg[x] = i;
- }
- }
- }