vj題目彙總
一，
威佐夫博弈題解
（1）HDU 1527（入門）
（2） HDU 2177 （進階1）
（3）51Nod 1185（進階2）
注：進階1中提處理了輸出威佐夫博弈的第一種可行方案的問題；
進階2處理了威佐夫博弈中（黃金比例*大數）精度會損失的問題；
補充：威佐夫博弈中，非奇異局勢可以通過一步找到奇異局勢。
二，
NimK（尼姆）博弈 ：
k==1;
（1）HDU 1850 判斷是否獲勝，若第一個人獲勝，輸出他在第一次選擇有幾種不同的選擇方案數；
（2）HDU 2176 ，和（1）類似，不同在於這道題輸出獲勝前提下，輸出第一次之後的（a，b）；
（3） HDU 1730 ，將棋盤上棋子的有效可行移動距離變爲Nim中的石子問題，求解
（4）HDU 1849 ，同(3)
（5） POJ 2234 ,入門
（6） POJ 2975，同(1)
（7） ZOJ 3591 (ZOJ沒了，無法提交，但是個入門題)
（8）51Nod 1069 ，入門
（9）51Nod 1661，（）
k>1:
Football Game POJ - 2315
NIMk博弈的典型例題；
題目做法：
將題目給的最大的距離轉化爲最大的石子數k，注意將數據向下取整
將題目中給的每一個足球的目標距離，轉化爲石子的數目，向上取整；
問題就變成了：
n個石子堆，每次最多可以選擇k個石子堆，每個石子堆最多可以取s個；
解題方法：統計出每一堆石子數a的每一位，最後對於每一爲取餘(k+1);（這裏又把每一堆石子轉化爲每一個石子，採用了威佐夫博弈的思想）
這裏爲什麼要取餘（k+1)呢？
試想普通的每次只能從一堆石子裏取時，我們採用的時異或操作，最後判斷結構是否不爲0；其實這樣操作就等於堆每一位的和取餘2，最後判斷是否存在一位，取餘後的結果爲1；
3,sg函數
sg(x) 表示x這個局勢的選擇餘地，x的值越大，選擇餘地越大，當x的值爲0時，說明當前節點沒有選擇的餘地，沒有選擇的餘地，又有兩種情況，1，當前節點的子節點的sg值，全大於0，無論該節點如何選擇，都達不到奇異局勢；2，當前節點沒有選擇，即無任何子節點。
對於使用sg函數的題，要理解sg函數的值扮演的角色。
爲什麼sg[x]0,說明該局是奇異局勢，因爲如果sg[x]0，說明x的任何一個子問題都不爲0，所以sg[x]爲0；如果函數sg[x]中存在爲0的子問題，那麼sg[x]不爲0；因爲sg[x]的子問題中存在奇異局勢，說明x是非奇異局勢。
（1）Fibonacci again and again HDU - 1848
打表sg函數；sg函數基本的模板
（2）Digital Deletions HDU - 1404
打表暴力sg函數；
由奇異局勢的點去找到非奇異局勢的點
（3）S-Nim HDU - 1536
sg函數+f數組，注意f數組裏面的數據要進行從大到小的排序。
（4）Stone Game HDU - 1729
動態的變化，dfs找到滿足要求的奇異局勢點即可。
（4）A Multiplication Game HDU - 1517
dfs實現對sg函數的更新，數據爲long long，採用map；
（5）Euclid’s Game HDU - 1525
採用（4）的思路，進行dfs更新，增加的pair來存儲點的關係
（6）Play a game HDU - 1564
採用（4）的思路，進行dfs更新，但是有個問題，直接使用sg函數
的值來判斷的話，會爆內存，但是我們可以發現一個規律，當n時偶數時前者獲勝；但在這裏面sg1，表示的是奇異局勢，而非 非奇異局勢
(7)HDU1760
這道題使得我對dfs的理解進一步加深，我們dfs的目的是啥？
這個是我們寫dfs之前要想好的，就想用dfs去寫最短路的時候，
你得知道我們得目標是什麼，而這道題得目標就是：
如果我們可以選擇這個點，那麼下一次選擇是奇異局勢，就是
沒有可選擇的地方，我們就可以認爲這個點是非奇異局勢，並返回sg1；
否者如果這個點以後，所有的選擇都是1，那麼這個點是0；
(8)kiki’s game HDU - 2147
sg打表，如果n和m同時是質數，則先手敗，否則先手獲勝。
（9）Bomb Game HDU - 2873
二維sg函數，理解大問題分解之後的小問題是什麼，要理解小問題如何遞歸到大問題，要理解sg函數代表着什麼。
（10）Stone Game, Why are you always there? HDU - 2999
首先理解這個問題:
給你一個n，代表有n個選擇（可能出現重複的選擇）每個選擇代表每次可以連續取多少個數，然後提供一個m， 代表下面將有m個數據k，每個數據k代表我目前有一條長度爲k的石子，A，B輪流按照上面提供的規則取。
4，巴士博弈
（1）HDU - 2188 ，入門
（2）Brave Game HDU - 1846，入門
（3）Public Sale HDU - 2149，輸出解決方案
//巴士博弈的第一步的解決方案：如果石子的數目m小於或等於每次放置的最大數目n，答案區間[m,n];如果m>n，答案只有m%(n+1);
總的來說，思想就是讓對方在下一步無論如何操作達到奇異局勢，而不是非奇異局勢。
(4)Buttons POJ - 2368
對於給定的最大石子的數目n，求每次可以最大的獲取數m並要求m>=2，使得第二個人獲勝；
方法是判斷n是否是素數，如果n是素數，那麼m ==n-1；
如果n是不是素數，那麼m是n的最小的滿足大於2的因子(是大於2)
n%(m+1);
(5)
Bash遊戲 V2 51Nod - 1067
打sg表發現規律
（6）Bash遊戲 V3 51Nod - 1068
打sg表發現規律，注意題目中n要用字符串的形式存取，
n%3;等於n每一位上的數取餘3再相加的和取餘3；因爲10%3 ==1
（7）邂逅明下 HDU - 2897 巴士博弈的變形
n個石子，最少可以取p個，最多可以取q個，如果少於p個，必須全部取，最後取石子的輸；
這道題由巴士博弈的影子，先來思考一下巴士博弈是什麼?
經典的巴士博弈，n 個石子，至少取1個，至多取m個，無石子可取的輸。
我們的思路是：
n=(m+1)*r+s;
0<=s<=m;
當s==0時，即n%(m+1) 0；後手B獲勝,獲勝的方法是：每次先手A取a個。後手B都去（m+1-a）個石子，這樣到最後先手A無石子可取；
當s>0時，先手A獲勝，獲勝的方法是A先去m個，這樣問題就變成了s0，B爲先手的情況了。
那我們如果改變一下巴士博弈的規則呢，最後取石子的輸，其餘不變，那麼又該如何獲勝呢？
n=(m+1)*r+s;
0<=s<=m;
當s0時，先手A獲勝，第一次取m個，（第一個m+1對還剩餘1）；(每當B取k個，A取（m+1-k）個)，最後剩給B的是1個；
{這裏是說從A開始維護，“(每當B取k個，A取（m+1-k）個)”，如果從B開始維護呢？A取k個，B取（m+1-k）個，只要A每次取m個，B最後還是回輸}
當s1時，後手B獲勝，（第一次A取k個，B取m+1-k個），這樣到最後還會剩餘1個，那麼A失敗；
當s>1時，先手A獲勝，A第一次取s-1個石子，那麼局勢就變成了上面的情況；
那麼我們再討論這個問題：
“n個石子，最少可以取p個，最多可以取q個，如果少於p個，必須全部取，最後取石子的輸；”
那麼p==1，不就是上面的情況了嗎？
n=(p+q)*r+s;;
當s==0，A獲勝，A取q個，（B取a個，A取p+q-a個），最後還剩p個留給B；
當0<s<=p，B獲勝，（A取k個，B取p+q-k個），最後剩給A，s個；
當s>p時，A獲勝，A取（s-p）個，這樣局勢就變成了，B先手，s == p 的局勢了；
5，斐波那契博弈
（1）Bash遊戲 V4 51Nod - 1070
一開始的思路是脫離題目本身的，去像Stone Game HDU - 1729這道題一樣，去尋找分割點，但是這道題不存在這樣的結果，試圖去尋找規律，從樣例中可以看出，幾個答案滿足斐波那契數列的規律，繼續驗證後面的數據，任然滿足
（2）取石子游戲 HDU2576
打表，發現斐波那契數列的規律
6,對偶博弈
（1）
No Gambling HDU - 3863
水題，先手一定勝，因爲每一次A的選擇都是明確的，而，B的選擇都是在A後面
，做出的補救措施。
（2）Coin Game HDU - 3951
先處理特殊情況，(1)k 1，n%2；(2)k>=n;(3)—；
第（3）中情況，後手B一定可以獲勝，B可以一步獲勝，亦可以製造
對稱局勢； 處於對稱局勢的先手一定失敗
（3）A Funny Game POJ - 2484
尋找對稱局勢；
本題中當n == 1|| n2時，先手A可以一次全部取出；
當n==3時，先手A無論是拿一個還是拿兩個，後手B都可以在下一次取得勝利；
當n>=4時，先手A第一步之後，後手B可以落子形成對稱局勢。
（4）Plate Game CodeForces - 197A
判斷長方形是否可以放下一個盤子，當且僅當放不下盤子，先手A會輸；
如果可以放下n個盤子：
n ==1||n ==2時，A可以直接贏；
n>=3時，A合理的放置棋子，可以讓後手B面臨對稱局勢
率先面臨對稱局勢的一定會輸
6，組合博弈
（1）A Simple Game HDU - 1851
M堆石子，每堆最多取Li個，問後手獲勝的情況；
每一堆滿足巴士博弈，則通過這個計算出每一堆的sg值，0或者1，0表示該堆後手獲勝，1表示該堆先手獲勝；
M堆滿足nim（尼姆）博弈，計算sg值得異或，若ans==0，說明對於單堆來說，先手獲勝的局勢和後手獲勝的局勢都爲偶數，則後手可以形成對稱局勢；
反思：一開始只是取考慮先手獲勝的有幾局，如果是偶數，則對；否則錯；
這是錯誤的，sg值纔是每一組博弈的標誌。
7，二進制裏面的找規律的題
（1） Stone Game II+hdu 4388 二進制找規律
k<n;
如果 n^k<n;那麼k<n;
如果n的二進制數101；
那麼k只能是001，或者100；
就是將數字拆分之後1的個數減去n就是可以有幾局這樣的遊戲，