Introduction
噪声水平估计对于非盲去噪方法是至关重要的,噪声水平估计质量直接影响去噪的质量。这篇文章是2015年ICCV 的一篇文章,针对于加性高斯白噪声,其利用非局部相似块具有低秩性的特性,利用协方差矩阵冗余维度的特征值估计噪声水平,并取得了不错的效果。这篇文章的主要贡献在于
1. 分析了噪声水平和图像patch的协方差矩阵的特征值之间的关系;
2. 提出了一种无参方法在多项式时间内从特征值估计噪声水平的方法,并给与了理论证明;
Analysis
这篇文章的方法是针对于加性,独立,同质性的高斯噪声。所谓“同质性”指的是噪声方差对于图像中所有像素都是一个常数,不会随着位置和颜色强度改变。由于一般认为图像的噪声都是零均值噪声,所谓的噪声水平估计就是通过单张噪声图像估计高斯噪声的方差(或标准差)。
该文章的方法是基于以下观察:从无噪声图像中提取的patch常常处于一个低维子空间中,而不是均匀分布于所有空间中。所以噪声的方差就可以从冗余的空间维度上进行估计,那么噪声估计问题就变成了如何选择冗余维度的问题。
Method
把一张图像分解为一系列的patch 。如果图像大小为 ,则 包含 个大小为 的patch。然后将所有这些patch都变成向量,其维度为 。对于集 中任意一个向量 ,其可以分解为:
其中, 是对应的无噪声图像patch, 表示加性高斯白噪声, 。
特征值
从下图中可以看出,无噪声图像patch的特征值多数为0(即说明其位于低维子空间),而噪声图像patch的特征值多数位于真实噪声方差50附近,但不是精确为50。
所以如何精确的获得噪声方差是需要解决的问题。
计算 的协方差矩阵可得
其中, 为其平均值。
对其做特征值分解可得
则 可以表示为(此处 与原文表达意思不同)
假设干净的patch位于 维线性空间中, ,则
其中, , 表示 维的子空间。
综上可知,
公式两边乘以
通过 将噪声部分 从 中分离出来,且根据高斯函数性质, 是服从高斯分布 的随机变量。
的协方差为
为了估计噪声方差,将特征值 分成两个部分,其中, 表示主维度的特征值, 表示冗余维度的特征值。用冗余维度的特征值估计噪声方差。
由于冗余维度向量 服从高斯分布 ,对于向量 中的每一个元素 也是服从高斯分布N(0,\sigma^2)的随机变量,由于
则特征值 也是均值为噪声方差 的随机变量。
这里放上文章中的引理:
维度选择
下图表示噪声图像特征值的直方图,可以看出除了少数比较大的异常值(主维度的特征值)以外,其余的特征值是服从高斯分布的,且根据上面的引理,其均值(期望)就是噪声方差。
所以现在的任务就是估计主维度的数量,去除其特征值,即判断特征值是否属于 。
放上文章另一个定理
其说明,当集合 中的冗余维度足够多时,可以通过判断 的平均值与其中值是否相等,来判断 是否存在异常值。我是从另一个角度理解的,由于冗余维度的特征值服从高斯分布,高斯分布的均值等于其中值,而异常值的存在破坏了这种等价关系,随着异常值的剔除,其中值和均值逐渐接近。
在文章中,patch大小设为 ,则 维度为192,则主维度的数量不能超过67(具体证明可参见原文)。
算法
根据以上分析,则可以得到噪声水平估计算法,总体来说,就是通过剔除 中的异常值,得到冗余维度的特征值,然后冗余维度的特征值的期望(均值)就是噪声的方差。