矩陣求導(轉自https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748)

矩陣求導的技術，在統計學、控制論、機器學習等領域有廣泛的應用。鑑於我看過的一些資料或言之不詳、或繁亂無緒，本文來做個科普，分作兩篇，上篇講標量對矩陣的求導術，下篇講矩陣對矩陣的求導術。本文使用小寫字母x表示標量，粗體小寫字母 $\boldsymbol{x}$ 表示（列）向量，大寫字母X表示矩陣。

首先來琢磨一下定義，標量f對矩陣X的導數，定義爲 $\frac{\partial f}{\partial X} = \left[\frac{\partial f }{\partial X_{ij}}\right]$ ，即f對X逐元素求導排成與X尺寸相同的矩陣。然而，這個定義在計算中並不好用，實用上的原因是在對較複雜的函數難以逐元素求導；哲理上的原因是逐元素求導破壞了整體性。試想，爲何要將f看做矩陣X而不是各元素 $X_{ij}$ 的函數呢？答案是用矩陣運算更整潔。所以在求導時不宜拆開矩陣，而是要找一個從整體出發的算法。

爲此，我們來回顧，一元微積分中的導數（標量對標量的導數）與微分有聯繫：；多元微積分中的梯度（標量對向量的導數）也與微分有聯繫： $df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，這裏第一個等號是全微分公式，第二個等號表達了梯度與微分的聯繫：全微分是 $n\times1$ 梯度向量 $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}$ 與 $n\times1$ 微分向量 $d\boldsymbol{x}$ 的內積；受此啓發，我們將矩陣導數與微分建立聯繫： $df = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ 。其中tr代表跡(trace)是方陣對角線元素之和，滿足性質：對尺寸相同的矩陣A,B， $\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$ ，即 $\text{tr}(A^TB)$ 是矩陣A,B的內積。與梯度相似，這裏第一個等號是全微分公式，第二個等號表達了矩陣導數與微分的聯繫：全微分是 $m\times n$ 導數 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 與 $m\times n$ 微分矩陣的內積。

然後來建立運算法則。回想遇到較複雜的一元函數如 $f = \log(2+\sin x)e^{\sqrt{x}}$ ，我們是如何求導的呢？通常不是從定義開始求極限，而是先建立了初等函數求導和四則運算、複合等法則，再來運用這些法則。故而，我們來創立常用的矩陣微分的運算法則：

加減法： $d(X\pm Y) = dX \pm dY$ ；矩陣乘法：；轉置：；跡： $d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)$ 。
逆： $dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}$ 。此式可在 $XX^{-1}=I$ 兩側求微分來證明。
行列式： $d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX)$ ，其中 $X^{\#}$ 表示X的伴隨矩陣，在X可逆時又可以寫作 $d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)$ 。此式可用Laplace展開來證明，詳見張賢達《矩陣分析與應用》第279頁。
逐元素乘法： $d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY$ ， $\odot$ 表示尺寸相同的矩陣X,Y逐元素相乘。
逐元素函數： $d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX$ ， $\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]$ 是逐元素標量函數運算， $\sigma'(X)=[\sigma'(X_{ij})]$ 是逐元素求導數。舉個例子， $X=[x_1, x_2], d \sin(X) = [\cos x_1 dx_1, \cos x_2 dx_2] = \cos(X)\odot dX$ 。

我們試圖利用矩陣導數與微分的聯繫 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，在求出左側的微分後，該如何寫成右側的形式並得到導數呢？這需要一些跡技巧(trace trick)：

標量套上跡： $a = \text{tr}(a)$
轉置： $\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A)$ 。
線性： $\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)$ 。
矩陣乘法交換： $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ ，其中與尺寸相同。兩側都等於 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}$ 。
矩陣乘法/逐元素乘法交換： $\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)$ ，其中尺寸相同。兩側都等於 $\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$ 。

觀察一下可以斷言，若標量函數f是矩陣X經加減乘法、行列式、逆、逐元素函數等運算構成，則使用相應的運算法則對f求微分，再使用跡技巧給df套上跡並將其它項交換至dX左側，即能得到導數。

在建立法則的最後，來談一談複合：假設已求得 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，而Y是X的函數，如何求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 呢？在微積分中有標量求導的鏈式法則 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}$ ，但這裏我們不能沿用鏈式法則，因爲矩陣對矩陣的導數 $\frac{\partial Y}{\partial X}$ 截至目前仍是未定義的。於是我們繼續追本溯源，鏈式法則是從何而來？源頭仍然是微分。我們直接從微分入手建立複合法則：先寫出 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)$ ，再將dY用dX表示出來代入，並使用跡技巧將其他項交換至dX左側，即可得到 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。

接下來演示一些算例。特別提醒要依據已經建立的運算法則來計算，不能隨意套用微積分中標量導數的結論，比如認爲AX對X的導數爲A，這是沒有根據、意義不明的。

例1： $f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol{b}$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\boldsymbol{a}$ 是列向量，是 $m\times n$ 矩陣， $\boldsymbol{b}$ 是列向量，是標量。

解：先使用矩陣乘法法則求微分： $df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol{b}$ ，再套上跡並做矩陣乘法交換： $df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^TdX)$ ，注意這裏我們根據 $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ 交換了 $\boldsymbol{a}^TdX$ 與 $\boldsymbol{b}$ 。對照導數與微分的聯繫 $df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right)$ ，得到 $\frac{\partial f}{\partial X} = (\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^T)^T= \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$ 。

注意：這裏不能用 $\frac{\partial f}{\partial X} =\boldsymbol{a}^T \frac{\partial X}{\partial X}\boldsymbol{b}=?$ ，導數與乘常數矩陣的交換是不合法則的運算（而微分是合法的）。有些資料在計算矩陣導數時，會略過求微分這一步，這是邏輯上解釋不通的。

例2【線性迴歸】： $l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2$ ，求 $\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估計，即求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 的零點。其中 $\boldsymbol{y}$ 是列向量，是 $m\times n$ 矩陣， $\boldsymbol{w}$ 是列向量，是標量。

解：嚴格來說這是標量對向量的導數，不過可以把向量看做矩陣的特例。先將向量模平方改寫成向量與自身的內積： $l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})$ ，求微分，使用矩陣乘法、轉置等法則： $dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}$ 。對照導數與微分的聯繫 $dl = \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}^Td\boldsymbol{w}$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= (2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TX)^T = 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$ 。 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 的零點即 $\boldsymbol{w}$ 的最小二乘估計爲 $\boldsymbol{w} = (X^TX)^{-1}X^T\boldsymbol{y}$ 。

例3【多元logistic迴歸】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W\boldsymbol{x})$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一個元素爲1外其它元素爲0的列向量，是 $m\times n$ 矩陣， $\boldsymbol{x}$ 是列向量，是標量； $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ ，其中 $\exp(\boldsymbol{a})$ 表示逐元素求指數， $\boldsymbol{1}$ 代表全1向量。

解：首先將softmax函數代入並寫成 $l = -\boldsymbol{y}^T \left(\log (\exp(W\boldsymbol{x}))-\boldsymbol{1}\log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))\right) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$ ，這裏要注意逐元素log滿足等式 $\log(\boldsymbol{u}/c) = \log(\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{1}\log(c)$ ，以及 $\boldsymbol{y}$ 滿足 $\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{1} = 1$ 。求微分，使用矩陣乘法、逐元素函數等法則： $dl =- \boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}$ 。再套上跡並做交換，注意可化簡 $\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right) = \exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}$ ，這是根據等式 $\boldsymbol{1}^T (\boldsymbol{u}\odot \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{u}^T \boldsymbol{v}$ ，故 $dl = \text{tr}\left(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}\right) =\text{tr}(\boldsymbol{x}(\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^TdW)$ 。對照導數與微分的聯繫，得到 $\frac{\partial l}{\partial W}= (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$ 。

另解：定義 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$ ，則 $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a})$ ，先如上求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}$ ，再利用複合法則： $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^Td\boldsymbol{a}\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW \boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW\right)$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial W}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}^T$ 。

例4【方差的最大似然估計】：樣本 $\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_n\sim N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ ，求方差 $\Sigma$ 的最大似然估計。寫成數學式是： $l = \log|\Sigma|+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ ，求 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}$ 的零點。其中 $\boldsymbol{x}_i$ 是 $m\times 1$ 列向量， $\overline{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \boldsymbol{x}_i$ 是樣本均值， $\Sigma$ 是 $m\times m$ 對稱正定矩陣，是標量。

解：首先求微分，使用矩陣乘法、行列式、逆等運算法則，第一項是 $d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)$ ，第二項是 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 。再給第二項套上跡做交換： $\text{tr}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\text{tr}\left((\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})\right)$ $= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\text{tr}\left(\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\right)=\text{tr}(\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}d\Sigma)$ ，其中先交換跡與求和，然後將 $\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})$ 交換到左邊，最後再交換跡與求和，並定義 $S = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T$ 爲樣本方差矩陣。得到 $dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)$ 。對照導數與微分的聯繫，有 $\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S\Sigma^{-1})^T$ ，其零點即 $\Sigma$ 的最大似然估計爲 $\Sigma = S$ 。

最後一例留給經典的神經網絡。神經網絡的求導術是學術史上的重要成果，還有個專門的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推導BP算法時也會頗費一番腦筋，事實上使用矩陣求導術來推導並不複雜。爲簡化起見，我們推導二層神經網絡的BP算法。

例5【二層神經網絡】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}))$ ，求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ 和 $\frac{\partial l}{\partial W_2}$ 。其中 $\boldsymbol{y}$ 是除一個元素爲1外其它元素爲0的的列向量，是 $m\times p$ 矩陣，是 $p\times n$ 矩陣， $\boldsymbol{x}$ 是列向量，是標量； $\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}$ 同例3， $\sigma(\cdot)$ 是逐元素sigmoid函數 $\sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)}$ 。

解：定義 $\boldsymbol{a}_1=W_1\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{h}_1 = \sigma(\boldsymbol{a}_1)$ ， $\boldsymbol{a}_2 = W_2 \boldsymbol{h}_1$ ，則 $l =-\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)$ 。在例3中已求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)-\boldsymbol{y}$ 。使用複合法則，注意此處 $\boldsymbol{h}_1, W_2$ 都是變量： $dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^Td\boldsymbol{a}_2\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TdW_2 \boldsymbol{h}_1\right) + \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TW_2 d\boldsymbol{h}_1\right)$ ，使用矩陣乘法交換的跡技巧從第一項得到 $\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}\boldsymbol{h}_1^T$ ，從第二項得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_1}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}$ 。接下來求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}$ ，繼續使用複合法則，並利用矩陣乘法和逐元素乘法交換的跡技巧： $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^Td\boldsymbol{h}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^T(\sigma'(\boldsymbol{a}_1)\odot d\boldsymbol{a}_1)\right) = \text{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot \sigma'(\boldsymbol{a}_1)\right)^Td\boldsymbol{a}_1\right)$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_1)$ 。爲求 $\frac{\partial l}{\partial W_1}$ ，再用一次複合法則： $\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^Td\boldsymbol{a}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\right)$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}\boldsymbol{x}^T$ 。

首先來琢磨一下定義。矩陣對矩陣的導數，需要什麼樣的定義？第一，矩陣F(p×q)對矩陣X(m×n)的導數應包含所有mnpq個偏導數 $\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}$ ，從而不損失信息；第二，導數與微分有簡明的聯繫，因爲在計算導數和應用中需要這個聯繫；第三，導數有簡明的從整體出發的算法。我們先定義向量 $\boldsymbol{f}$ (p×1)對向量 $\boldsymbol{x}$ (m×1)的導數 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}$ (m×p)，有 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x}$ ；再定義矩陣的（按列優先）向量化 $\mathrm{vec}(X) = [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T$ (mn×1)，並定義矩陣F對矩陣X的導數 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ (mn×pq)。導數與微分有聯繫 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ 。幾點說明如下：

按此定義，標量f對矩陣X(m×n)的導數 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 是mn×1向量，與上篇的定義不兼容，不過二者容易相互轉換。爲避免混淆，用記號 $\nabla_X f$ 表示上篇定義的m×n矩陣，則有 $\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。雖然本篇的技術可以用於標量對矩陣求導這種特殊情況，但使用上篇中的技術更方便。讀者可以通過上篇中的算例試驗兩種方法的等價轉換。
標量對矩陣的二階導數，又稱Hessian矩陣，定義爲 $\nabla^2_X f = \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}$ (mn×mn)，是對稱矩陣。對向量 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 或矩陣 $\nabla_X f$ 求導都可以得到Hessian矩陣，但從矩陣 $\nabla_X f$ 出發更方便。
$\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}$ ，求導時矩陣被向量化，弊端是這在一定程度破壞了矩陣的結構，會導致結果變得形式複雜；好處是多元微積分中關於梯度、Hessian矩陣的結論可以沿用過來，只需將矩陣向量化。例如優化問題中，牛頓法的更新 $\Delta X$ ，滿足 $\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)$ 。
在資料中，矩陣對矩陣的導數還有其它定義，比如 $\frac{\partial F}{\partial X} = \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right]$ (mp×nq)，它能兼容上篇中的標量對矩陣導數的定義，但微分與導數的聯繫（dF等於 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 中每個m×n子塊分別與dX做內積）不夠簡明，不便於計算和應用。

然後來建立運算法則。仍然要利用導數與微分的聯繫 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，求微分的方法與上篇相同，而從微分得到導數需要一些向量化的技巧：

線性： $\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)$ 。
矩陣乘法： $\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\otimes$ 表示Kronecker積，A(m×n)與B(p×q)的Kronecker積是 $A\otimes B = [A_{ij}B]$ (mp×nq)。此式證明見張賢達《矩陣分析與應用》第107-108頁。
轉置： $\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A)$ ，A是m×n矩陣，其中 $K_{mn}$ (mn×mn)是交換矩陣(commutation matrix)。
逐元素乘法： $\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X)$ ，其中 $\mathrm{diag}(A)$ (mn×mn)是用A的元素（按列優先）排成的對角陣。

觀察一下可以斷言，若矩陣函數F是矩陣X經加減乘法、行列式、逆、逐元素函數等運算構成，則使用相應的運算法則對F求微分，再做向量化並使用技巧將其它項交換至vec(dX)左側，即能得到導數。

再談一談複合：假設已求得 $\frac{\partial F}{\partial Y}$ ，而Y是X的函數，如何求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 呢？從導數與微分的聯繫入手， $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX)$ ，可以推出鏈式法則 $\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}$ 。

和標量對矩陣的導數相比，矩陣對矩陣的導數形式更加複雜，從不同角度出發常會得到形式不同的結果。有一些Kronecker積和交換矩陣相關的恆等式，可用來做等價變形：

$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T$ 。
$\mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}$ 。
$(A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)$ 。可以對求導來證明，一方面，直接求導得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)$ ；另一方面，引入，有 $\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B$ ，用鏈式法則得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)$ 。
$K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I$ 。
$K_{pm}(A\otimes B) K_{nq} = B\otimes A$ ，A是m×n矩陣，B是p×q矩陣。可以對做向量化來證明，一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X)$ ；另一方面， $\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = K_{pm}(A\otimes B) K_{nq}\mathrm{vec}(X)$ 。

接下來演示一些算例。

例1：，X是m×n矩陣，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分：，再做向量化，使用矩陣乘法的技巧，注意在dX右側添加單位陣： $\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的聯繫得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T$ 。

特例：如果X退化爲向量， $\boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x}$ ，則根據向量的導數與微分的關係 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x}$ ，得到 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} = A^T$ 。

例2： $f = \log |X|$ ，X是n×n矩陣，求 $\nabla_X f$ 和 $\nabla^2_X f$ 。

解：使用上篇中的技術可求得 $\nabla_X f = X^{-1T}$ 。爲求 $\nabla^2_X f$ ，先求微分： $d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T$ ，再做向量化，使用轉置和矩陣乘法的技巧 $\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的聯繫，得到 $\nabla^2_X f = -K_{nn}(X^{-1T}\otimes X^{-1})$ ，注意它是對稱矩陣。在是對稱矩陣時，可簡化爲 $\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}$ 。

例3： $F = A\exp(XB)$ ，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩陣，exp()爲逐元素函數，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$ 。

解：先求微分： $dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再做向量化，使用矩陣乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB))$ ，再用逐元素乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB)$ ，再用矩陣乘法的技巧： $\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX)$ ，對照導數與微分的聯繫得到 $\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)$ 。

例4【一元logistic迴歸】： $l = -y \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{w} + \log(1 + \exp(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}))$ ，求 $\nabla_\boldsymbol{w} l$ 和 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$ 。其中是取值0或1的標量， $\boldsymbol{x},\boldsymbol{w}$ 是向量。

解：使用上篇中的技術可求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x}(\sigma(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w}) - y)$ ，其中 $\sigma(a) = \frac{\exp(a)}{1+\exp(a)}$ 爲sigmoid函數。爲求 $\nabla^2_\boldsymbol{w} l$ ，先求微分： $d\nabla_\boldsymbol{w} l = \boldsymbol{x} \sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T d\boldsymbol{w}$ ，其中 $\sigma'(a) = \frac{\exp(a)}{(1+\exp(a))^2}$ 爲sigmoid函數的導數，對照導數與微分的聯繫，得到 $\nabla_w^2 l = \boldsymbol{x}\sigma'(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{w})\boldsymbol{x}^T$ 。

推廣：樣本 $(\boldsymbol{x}_1, y_1), \dots, (\boldsymbol{x}_n,y_n)$ ， $l = \sum_{i=1}^N \left(-y_i \boldsymbol{x}_i^T\boldsymbol{w} + \log(1+\exp(\boldsymbol{x_i}^T\boldsymbol{w}))\right)$ ，求 $\nabla_w l$ 和 $\nabla^2_w l$ 。有兩種方法，方法一：先對每個樣本求導，然後相加；方法二：定義矩陣 $X = \begin{bmatrix}\boldsymbol{x}_1^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{x}_n^T \end{bmatrix}$ ，向量 $\boldsymbol{y} = \begin{bmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$ ，將寫成矩陣形式 $l = -\boldsymbol{y}^T X\boldsymbol{w} + \boldsymbol{1}^T\log(\boldsymbol{1} + \exp(X\boldsymbol{w}))$ ，進而可以求得 $\nabla_\boldsymbol{w} l = X^T(\sigma(X\boldsymbol{w}) - \boldsymbol{y})$ ， $\nabla_w^2 l = X^T\text{diag}(\sigma'(X\boldsymbol{w}))X$ 。

例5【多元logistic迴歸】： $l = -\boldsymbol{y}^T\log \text{softmax}(W\boldsymbol{x}) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))$ ，求 $\nabla_W l$ 和 $\nabla^2_W l$ 。

解：上篇例3中已求得 $\nabla_W l = (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T$ 。爲求 $\nabla^2_W l$ ，先求微分：定義 $\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}$ ， $d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a}) (\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}))}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}$ ，這裏需要化簡去掉逐元素乘法，第一項中 $\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a} = \text{diag}(\exp(\boldsymbol{a})) d\boldsymbol{a}$ ，第二項中 $\boldsymbol{1}^T(\exp(\boldsymbol{a})\odot d\boldsymbol{a}) = \exp(\boldsymbol{a})^Td\boldsymbol{a}$ ，故有 $d\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}$ ，其中 $\text{softmax}'(\boldsymbol{a}) = \frac{\text{diag}(\exp(\boldsymbol{a}))}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})} - \frac{\exp(\boldsymbol{a})\exp(\boldsymbol{a})^T}{(\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a}))^2}$ ，代入有 $d\nabla_W l = \text{softmax}'(\boldsymbol{a})d\boldsymbol{a}\boldsymbol{x}^T = \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})dW \boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T$ ，做向量化並使用矩陣乘法的技巧，得到 $\nabla^2_W l = (\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^T) \otimes \text{softmax}'(W\boldsymbol{x})$ 。

最後做個總結。我們發展了從整體出發的矩陣求導的技術，導數與微分的聯繫是計算的樞紐，標量對矩陣的導數與微分的聯繫是 $df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX)$ ，先對f求微分，再使用跡技巧可求得導數，特別地，標量對向量的導數與微分的聯繫是 $df = \nabla^T_{\boldsymbol{x}}f d\boldsymbol{x}$ ；矩陣對矩陣的導數與微分的聯繫是 $\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)$ ，先對F求微分，再使用向量化的技巧可求得導數，特別地，向量對向量的導數與微分的聯繫是 $d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}^Td\boldsymbol{x}$ 。

矩陣求導(轉自https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748)

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矩陣求導(轉自https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748)

用tensorflow搭建RNN(LSTM)進行MNIST 手寫數字辨識(轉自http://www.cnblogs.com/sandy-t/p/6930608.html)

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