這幾個玩意兒要記的東西太多太亂所以寫blog整理一下
雖然蒯的成分會比較多全部
我居然開始記得寫blog了？？
第一類
這裏討論的是無符號類型的。
表示方法
\(s(n,m)\)或者\(\begin{bmatrix}n \\ m\end{bmatrix}\)
注意前者是小寫s
意義
\(n\)個元素的項目分作\(m\)個非空環排列的方法數目
求法
遞歸求解法
\[\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\]
可怕 這很\(O(n^2)\)
各種性質
\(\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}=(n-1)!\)
\(\begin{bmatrix}n\\2\end{bmatrix}=(n-1)!\times\sum_{i=1}^{n-1}\frac 1 i\)
\(\sum_{i=0}^n \begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}=n!\)
\(\begin{bmatrix}n\\n-1\end{bmatrix}=\binom{n}{2}\)
這裏就不給出證明了
別的地方都有
也挺好記好想的
maybe
第二類
表示方法
\(S(n,m)\)或者\(\left\{\begin{matrix}n \\ m\end{matrix}\right\}\)
當然這裏是大寫S
意義
\(n\)個元素的集定義\(m\)個等價類的方法數目
。。。wiki害人
就是從環排列變成集合劃分了
當然也要保證非空
求法
遞歸求解法
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}\]
再次\(O(n^2)\)？？別啊
幸好這玩意兒能搞容斥，通項就有了
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum\limits_{k=0}^{m}(-1)^k\binom{m}{k}(m-k)^n\]
\(O(n)\)求解不是夢
好吧只求一個用這個會快
最重要的是這個能卷，也好搞些別的？？？
Stirling 反演
兩個柿子挺好記
但我暫時還搞不清具體是幹嘛的。。。
\[f(x) = \sum_{i=0}^x \begin{Bmatrix}x\\i\end{Bmatrix} g(i) \Leftrightarrow g(x) = \sum_{i=0}^x (-1) ^ {x - i}\begin{bmatrix}x\\i\end{bmatrix} f(i)\]
\[f(x) = \sum_{i=0}^x \begin{bmatrix}x\\i\end{bmatrix} g(i) \Leftrightarrow g(x) = \sum_{i=0}^x (-1) ^ {x - i}\begin{Bmatrix}x\\i\end{Bmatrix} f(i)\]
Bell數什麼的可能也會搞到這裏來
但是我暫時還沒看
參考
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https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/9242645.html
https://www.cnblogs.com/ezoiLZH/p/9424911.html
https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html