VST in Denoising

Introduction

經典的圖像去噪方法都是將噪聲建模爲加性高斯白噪聲（AWGN），而真實圖像的噪聲並不嚴格服從AWGN。比如對於RAW圖像來說，其噪聲分佈服從Poisson-Gaussian分佈。因此，我們有兩種方法來應對這種差別：

1. 根據實際觀察到的噪聲分佈建立新的噪聲模型，以此來提出新的去噪方法；
2. 將觀察到的噪聲分佈轉化爲AWGN，用現有的去噪方法處理；

VST（variance stabilizing transform）就是一種將對信號依賴的噪聲變爲AWGN的常用方法。VST的目的就是找到一個簡單的函數$f$應用於數據$x$，使得$y=f(x)$的方差與其均值無關。
VST是一個大家族，其中包括很多變換。今天介紹一種最常用到的VST變換——Anscombe transform（AT）及其推廣。

Anscombe Transform

Anscombe transform可以將一個服從泊松分佈（Poisson distribution）的隨機變量變爲一個近似標準高斯分佈。

定義

對於泊松分佈，其均值$m$和方差$v$是相互依賴的：$m=v$。
Anscombe transform $f(x)$：
$A:x\to 2\sqrt{x+\frac{3}{8}}$

經過變換後，對於足夠大的均值，隨機變量的方差近似爲1；而當均值爲0時，方差仍然爲0。

AT將均值爲$m$的泊松數據$x$變爲了近似均值爲$2\sqrt{m+\frac{3}{8}}-\frac{1}{4m^{1/2}}+O(\frac{1}{m^{3/2}})$，標準差爲$1+O(\frac{1}{m^2})$的高斯分佈。
從上圖可以看出，在$m$大於4時，這種近似可以得到很好地保證。

逆變換

當在VST域做完去噪後，通過其逆變換（iVST）可以將去噪數據$y$變回原來的域。
其代數逆爲：
$A^{-1}: y \to \left( \frac{y}{2} \right)^2-\frac{3}{8}$

代數逆常常會對估計的均值$m$引入不想要的偏置， 因爲正向變換中的平方根變換不是線性的。
而在成像和圖像應用時，隱式映射給出了精確的無偏逆變換：
$E\left[ f(x)|m \right]=2\sum^{+\infty}_{x=0}\left( \sqrt{x+\frac{3}{8}}\cdot \frac{m^xe^{-m}}{x!} \right)$

該精確無偏逆的一個閉合形式的近似解爲：
$y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8}$

當$y$特別大時，其漸進逆爲：
$y\to \frac14y^2-\frac18$

Generalization

許多數字成像器件的噪聲可以被建模爲Poisson-Gaussian noise。其中泊松部分表示傳感器接受光子的不確定性，其是信號依賴的；高斯部分表示其他信號無關噪聲，如熱噪聲等。對於觀察到的每個像素值$\hat{x}$，可以表示爲：
$\hat{x}=ap+n$

其中，$p\sim \mathcal{P}(\hat{y})$, $n\sim \mathcal{N}(m, \hat{\sigma}^2)$。因此我們可以定義Poisson-Gaussion noise爲：
$\eta = \hat{x}-\hat{y}$

定義

廣義Anscombe變換（generalized Anscombe transform， GAT）表示爲：
$\begin{array}{ccc} f(\hat{x})=\left\{ \begin{aligned} &\frac{2}{a}\sqrt{a\hat{x}+\frac{3}{8}a^2+\hat{\sigma}^2-am}, &&\hat{x}>-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\ &0, && \hat{x}\leq-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\ \end{aligned} \right. \end{array}$

當$a=1, \sigma=0, m=0$時，Poisson-Gausssion分佈退化爲Poisson分佈，GAT也退化爲AT。
對上述公式中的變量做歸一化：
$x=\frac{\hat{x}-m}{a}, \sigma=\frac{\hat{\sigma}}{a}$

即將原變量x變爲一個單位Poisson變量疊加一個均值爲0，標準差爲$\sigma$的加性高斯白噪聲。則GAT可以簡化爲：
$\begin{array}{ccc} f_{\sigma}(x)=\left\{ \begin{aligned} &2\sqrt{x+\frac{3}{8}+\sigma^2}, &&x>-\frac38-\sigma^2 \\ &0, && x\leq-\frac38-\sigma^2 \\ \end{aligned} \right. \end{array}$

下圖是$\sigma=0.01,1,2,3$的關係曲線。從下圖可以看出，當標準差$\sigma>2$時，變換後的方差穩定在理想值1左右。

逆變換

當高斯噪聲部分的標準差$\sigma$比較大時，GAT的精確無偏逆變換可以近似爲：
$A^{-1}_{\sigma} \approx A^{-1}-\sigma^2$

其閉合形式的近似爲：
$y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8}-\sigma^2$

當$\sigma$或$y$特別大時，其漸進逆爲：
$A^{-1}_{asy}: \frac14y^2-\frac18-\sigma^2$

參考文獻

1、WIkipedia：Variance-stabilizing transformation
2、Wikipedia：Anscombe transform
3、Mäkitalo M, Foi A. Poisson-gaussian denoising using the exact unbiased inverse of the generalized anscombe transformation[C]//Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2012 IEEE International Conference on. IEEE, 2012: 1081-1084.
4、Makitalo M, Foi A. Optimal inversion of the generalized Anscombe transformation for Poisson-Gaussian noise[J]. IEEE transactions on image processing, 2013, 22(1): 91-103.