VST in Denoising

Introduction

经典的图像去噪方法都是将噪声建模为加性高斯白噪声（AWGN），而真实图像的噪声并不严格服从AWGN。比如对于RAW图像来说，其噪声分布服从Poisson-Gaussian分布。因此，我们有两种方法来应对这种差别：

1. 根据实际观察到的噪声分布建立新的噪声模型，以此来提出新的去噪方法；
2. 将观察到的噪声分布转化为AWGN，用现有的去噪方法处理；

VST（variance stabilizing transform）就是一种将对信号依赖的噪声变为AWGN的常用方法。VST的目的就是找到一个简单的函数$f$应用于数据$x$，使得$y=f(x)$的方差与其均值无关。
VST是一个大家族，其中包括很多变换。今天介绍一种最常用到的VST变换——Anscombe transform（AT）及其推广。

Anscombe Transform

Anscombe transform可以将一个服从泊松分布（Poisson distribution）的随机变量变为一个近似标准高斯分布。

定义

对于泊松分布，其均值$m$和方差$v$是相互依赖的：$m=v$。
Anscombe transform $f(x)$：
$A:x\to 2\sqrt{x+\frac{3}{8}}$

经过变换后，对于足够大的均值，随机变量的方差近似为1；而当均值为0时，方差仍然为0。

AT将均值为$m$的泊松数据$x$变为了近似均值为$2\sqrt{m+\frac{3}{8}}-\frac{1}{4m^{1/2}}+O(\frac{1}{m^{3/2}})$，标准差为$1+O(\frac{1}{m^2})$的高斯分布。
从上图可以看出，在$m$大于4时，这种近似可以得到很好地保证。

逆变换

当在VST域做完去噪后，通过其逆变换（iVST）可以将去噪数据$y$变回原来的域。
其代数逆为：
$A^{-1}: y \to \left( \frac{y}{2} \right)^2-\frac{3}{8}$

代数逆常常会对估计的均值$m$引入不想要的偏置， 因为正向变换中的平方根变换不是线性的。
而在成像和图像应用时，隐式映射给出了精确的无偏逆变换：
$E\left[ f(x)|m \right]=2\sum^{+\infty}_{x=0}\left( \sqrt{x+\frac{3}{8}}\cdot \frac{m^xe^{-m}}{x!} \right)$

该精确无偏逆的一个闭合形式的近似解为：
$y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8}$

当$y$特别大时，其渐进逆为：
$y\to \frac14y^2-\frac18$

Generalization

许多数字成像器件的噪声可以被建模为Poisson-Gaussian noise。其中泊松部分表示传感器接受光子的不确定性，其是信号依赖的；高斯部分表示其他信号无关噪声，如热噪声等。对于观察到的每个像素值$\hat{x}$，可以表示为：
$\hat{x}=ap+n$

其中，$p\sim \mathcal{P}(\hat{y})$, $n\sim \mathcal{N}(m, \hat{\sigma}^2)$。因此我们可以定义Poisson-Gaussion noise为：
$\eta = \hat{x}-\hat{y}$

定义

广义Anscombe变换（generalized Anscombe transform， GAT）表示为：
$\begin{array}{ccc} f(\hat{x})=\left\{ \begin{aligned} &\frac{2}{a}\sqrt{a\hat{x}+\frac{3}{8}a^2+\hat{\sigma}^2-am}, &&\hat{x}>-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\ &0, && \hat{x}\leq-\frac38a-\frac{\hat{\sigma}^2}{a}+m \\ \end{aligned} \right. \end{array}$

当$a=1, \sigma=0, m=0$时，Poisson-Gausssion分布退化为Poisson分布，GAT也退化为AT。
对上述公式中的变量做归一化：
$x=\frac{\hat{x}-m}{a}, \sigma=\frac{\hat{\sigma}}{a}$

即将原变量x变为一个单位Poisson变量叠加一个均值为0，标准差为$\sigma$的加性高斯白噪声。则GAT可以简化为：
$\begin{array}{ccc} f_{\sigma}(x)=\left\{ \begin{aligned} &2\sqrt{x+\frac{3}{8}+\sigma^2}, &&x>-\frac38-\sigma^2 \\ &0, && x\leq-\frac38-\sigma^2 \\ \end{aligned} \right. \end{array}$

下图是$\sigma=0.01,1,2,3$的关系曲线。从下图可以看出，当标准差$\sigma>2$时，变换后的方差稳定在理想值1左右。

逆变换

当高斯噪声部分的标准差$\sigma$比较大时，GAT的精确无偏逆变换可以近似为：
$A^{-1}_{\sigma} \approx A^{-1}-\sigma^2$

其闭合形式的近似为：
$y\to \frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-1}-\frac{11}{8}y^{-2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}y^{-3}-\frac{1}{8}-\sigma^2$

当$\sigma$或$y$特别大时，其渐进逆为：
$A^{-1}_{asy}: \frac14y^2-\frac18-\sigma^2$

参考文献

1、WIkipedia：Variance-stabilizing transformation
2、Wikipedia：Anscombe transform
3、Mäkitalo M, Foi A. Poisson-gaussian denoising using the exact unbiased inverse of the generalized anscombe transformation[C]//Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2012 IEEE International Conference on. IEEE, 2012: 1081-1084.
4、Makitalo M, Foi A. Optimal inversion of the generalized Anscombe transformation for Poisson-Gaussian noise[J]. IEEE transactions on image processing, 2013, 22(1): 91-103.