NOIP2018模擬賽Potato 概率Dp 矩陣優化

NOIP2018模擬賽Potato

題目

分析

考慮動態規劃。
首先考慮到產生一個$j$級土豆的條件是有兩個$j-1$級的土豆。
由於每次都把土豆往左移，所以每次都是後面空出來一塊盒子讓你放。
於是可以Dp，先求當前一共有$i$個盒子，產生了一個$j$級土豆的概率。（接下來都假設有$i$個盒子）
$a[i][j]=a[i-1][j-1]\cdot a[i][j-1]$
考慮產生一個$j$級土豆，並且之後不再產生任何高於$j$級土豆的概率。
$A[i][j]=a[i][j]\cdot(1-a[i-1][j])$
因爲如果連一個$j$級土豆都沒有產生的話，一定不會有更高級的土豆出現。
在此基礎上，求最終第$i$個位置上是$j$級土豆，$[i,i+n]$內的所有土豆等級和的期望。
$f[i][j]=j+E_{k=1}^{j-1}(f[i+1][k], A[n - i][k])$
其中$E$表示的是加權平均，也就是
$E(x_i,w_i)=\frac{\sum x_i\cdot w_i}{\sum w_i}$
也就是考慮$i+1$個位置上最終爲$k$級別的土豆的期望：先產生一個$k$級別的土豆，之後都不在產生$k$級別的土豆，在此基礎上乘上這個情況下之後所有土豆等級和的期望。
但是要特殊考慮一種情況，就是$j=1$，這種情況下$i+1$位置只能直接產生一個$2$級的土豆。
所以額外新建狀態，$b[i][j]$表示最開始放了一個$2$級的土豆，合成了$j$的土豆的概率，$B[i][j]$表示之後都不再產生高於$j$級別的土豆。轉移方程：
$b[i][j]=b[i][j-1]\cdot(1-a[i-1][j-1])$
$B[i][j]=b[i][j]\cdot (1-a[i-1][j])$
$f[i][1]=E_{k=2}^{inf}(f[i+1][k],B[n-i][k])$
最終的答案是$Ans=\sum_{k=1}^{inf}(f[1][k]\cdot A[n][k])$
轉移的複雜度是$O(n^3)$的，只能通過$Subtask4$
然而不難發現，土豆等級越高產生的概率應該是指數級別下降的。所以考慮捨去大於某個等級的土豆（標解捨去的是50級以上的土豆）
這樣的話，當$n\ge 50$的時候$i+1->i$的轉移方程是一模一樣的，採用矩陣優化即可。
複雜度$O(50^3logn)$

代碼

#include<bits/stdc++.h>
int ri() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
double a[52][52], b[52][52], s[52][52], f[52][52];
struct Maxtir {
	double m[52][52];
	Maxtir() {memset(m, 0, sizeof(m));}
	double *operator[](int i) {return m[i];}
	Maxtir operator * (Maxtir b) {
		Maxtir c;
		for(int i = 1;i <= 51; ++i)
			for(int j = 1;j <= 51; ++j)
				for(int k = 1;k <= 51; ++k)
					c[i][j] += m[i][k] * b[k][j];
		return c;
	}
}A, B;
void Pow(int k) {B = A; for(;k; A = A * A, k >>= 1) if(k & 1) B = B * A;}
int main() {
	freopen("potato.in","r",stdin);
	freopen("potato.out","w",stdout);
	int n = ri(); double r = 0, p1 = ri() / 1e9, p2 = 1 - p1;
	for(int i = 1;i <= 50; ++i)
		for(int j = 1;j <= 50; ++j) {
			if(j == 1) a[i][j] += p1;
			if(j == 2) a[i][j] += p2, b[i][j] += p2;
			a[i][j] += a[i][j - 1] * a[i - 1][j - 1];
			b[i][j] += b[i][j - 1] * a[i - 1][j - 1];
		}
	for(int i = 50; i; --i)
		for(int j = 1;j <= 50; ++j)
			a[i][j] *= (1 - a[i - 1][j]), b[i][j] *= (1 - a[i - 1][j]);
	for(int i = 1;i <= 50; ++i) f[50][i] = i;
	for(int i = 49; ~i; --i) {
		for(int k = 2;k <= 50; ++k) 
			f[i][1] += f[i + 1][k] * b[50 - i][k], s[i][1] += b[50 - i][k];
		for(int j = 2;j <= 50; ++j) 
			for(int k = 1;k < j; ++k)
				f[i][j] += f[i + 1][k] * a[50 - i][k], s[i][j] += a[50 - i][k];
		for(int j = 1;j <= 50; ++j) 
			(f[i][j] /= s[i][j]) += j;
	}
	if(n <= 51) {
		for(int i = 1;i <= 50; ++i) 
			r += a[n][i] * f[51 - n][i];
		return printf("%.10lf\n", r), 0;
	}
	A[1][51] = A[51][51] = 1;
	for(int k = 2;k <= 50; ++k) A[1][k] += b[50][k] / s[0][1];
	for(int j = 2;j <= 50; A[j][51] = j, ++j) 
		for(int k = 1;k < j; ++k) 
			A[j][k] += a[50][k] / s[0][j];
	Pow(n - 52);
	for(int i = 1;i <= 50; ++i) {
		double s = 0;
		for(int j = 1;j <= 50; ++j)
			s += B[i][j] * f[0][j];
		s += B[i][51];
		r += s * a[50][i];
	}
	printf("%.10lf\n", r);
	return 0;
}