codeforces1129D. Isolation分塊優化Dp

codeforces1129D. Isolation

題目連接

分析

題目大意：給你一個序列，上面每個位置有一種顏色，求把這個序列分割成若干段，使得每一段的只出現一次的顏色個數不超過$k$個，求方案數。
一個顯然的$1D/1DDp$
$f(i)=\sum_{j=1}^i f(j-1)[cnt(j,i) \le k]$
重點在於，$cnt(j,i)$難以計算。
考慮如何形式化這個問題。
定義數組$b$，如果$i\to j$中$a_j$顏色第一次出現，那麼$b_j=1$，第二次出現$b_j=-1$，否則$b_j=0$
那麼$cnt(j,i)=\sum_{k=j}^ib_k$
這個時候考慮$i\to i+1$的過程。
我們發現，有一個$b_p$從$1\to -1$,有一個$b_q$從$-1\to0$
考慮$cnt(j,i+1)$相對於$cnt(j,i)$的變化。
$[p+1,i]+1,[q+1,p]-1$其餘不變。
我們現在要做的事情就是，把當前$cnt\le k$的所有$f$加起來。
考慮分塊。對於每一塊，記錄每個$vak_s$表示$cnt=s$的所有$f$之和。
那麼每一塊，做區間修改是考慮打標記。
也就是說，$val_s$實際上表示的是$cnt=s+tag_x$的所有$f$之和。
考慮$tag_x$變化的時候對答案的貢獻。
原本$s+tag_x\le k$
現在$s+tag_x+1\le k$或者$s+tag_x-1\le k$
實際上只有在$s=k-tag_x$這個邊界的$f$的貢獻會被減去或者加上。挪$tag$的時候順便改一下答案即可。
複雜度$O(n\sqrt n)$

代碼

#include<bits/stdc++.h>
const int Bs = 317, N = 2e5 + 10, P = 998244353;
int ri() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int pr[N], las[N], a[N], val[Bs][N], s[N], f[N], tag[Bs], B, Ans, z, k, n;
int belong(int x) {return (x - 1) / B + 1;}
void dec(int &a, int b) {a -= b; if(a < 0) a += P;}
void inc(int &a, int b) {a += b; if(a >= P) a -= P;}
void Ins(int u, int v) {
	int bu = belong(u);
	s[u] -= tag[bu];
	inc(Ans, v); inc(val[bu][s[u] + z], v);
}
void Mdfs(int u, int v) {
	int bu = belong(u);
	if(s[u] + tag[bu] <= k) dec(Ans, f[u - 1]);
	dec(val[bu][s[u] + z], f[u - 1]);
	s[u] += v;
	if(s[u] + tag[bu] <= k) inc(Ans, f[u - 1]);
	inc(val[bu][s[u] + z], f[u - 1]);
}
void Mdf(int L, int R, int v) {
	if(L > R) return ;
	int bl = belong(L), br = belong(R);
	if(bl + 1 >= br) {
		for(int i = L; i <= R; ++i)
			Mdfs(i, v);
	}
	else {
		for(int i = L;i <= bl * B; ++i)
			Mdfs(i, v);
		for(int i = (br - 1) * B + 1; i <= R; ++i)
			Mdfs(i, v);
		for(int i = bl + 1; i < br; ++i) {
			if(~v) dec(Ans, val[i][k - tag[i] + z]);
			else inc(Ans, val[i][k - tag[i] + 1 + z]);
			tag[i] += v;
		}
	}
}
int main() {
	n = ri(); k = ri();
	for(int i = 1, a;i <= n; ++i)
		a = ri(), pr[i] = las[a], las[a] = i;
	B = sqrt(n); z = n;
	f[0] = 1; Ins(1, 1);
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		Mdf(pr[i] + 1, i, 1);
		Mdf(pr[pr[i]] + 1, pr[i], -1);
		Ins(i + 1, f[i] = Ans);
	}
	printf("%d\n", f[n]);
	return 0;
}