先看一下定理描述：
Theorem 1.1： Let (![X]()
, ![\mathrm{d}]()
) be a complete metric space and ![f:X\rightarrow X]()
be a map such that ![\mathrm{d}(f(x),f({x}'))\leq c\mathrm{d}(x,{x}')]()
for some ![0\leq c< 1]()
and all ![x]()
and ![{x}']()
in ![X]()
. Then ![f]()
has a unique fixed point in ![X]()
. Moreover, for any ![{x}'\in X]()
the sequence of iterates ![{x}']()
, ![f({x}')]()
, ![f(f({x}'))]()
, ...... converges to the fixed point of ![f]()
.
When ![\mathrm{d}(f(x),f({x}'))\leq c\mathrm{d}(x,{x}')]()
for some ![0\leq c< 1]()
and all ![x]()
and ![{x}']()
in ![X]()
, ![f]()
is called a contraction. A contraction shrinks distances by a uniform factor ![c]()
less than 1 for all pairs of points. Theorem 1.1 is called the contraction mapping theorem or Banach’s fixed-point theorem.
也就是說：
定義尺度空間(![X]()
, ![\mathrm{d}]()
) (![X]()
可理解爲空間中元素，![\mathrm{d}]()
爲空間距離度量) 以及映射函數 ![f:X\rightarrow X]()
(函數輸入是尺度空間中的元素，輸出仍然屬於該空間)，如果存在![0\leq c< 1]()
, ![x,{x}'\in X]()
，使得 ![\mathrm{d}(f(x),f({x}'))\leq c\mathrm{d}(x,{x}')]()
成立，則函數![f]()
在![X]()
中具有唯一不動點。此外，對於任意![{x}'\in X]()
，序列![{x}']()
, ![f({x}')]()
, ![f(f({x}'))]()
收斂至![f]()
的不動點
![f]()
稱爲contraction(壓縮)函數。定理1.1稱爲 contraction mapping 定理或巴拿赫不動點定理
上述材料來源於[1]
簡單明瞭的介紹：
[1]. http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/contraction.pdf
[2]. http://mathonline.wikidot.com/banach-s-fixed-point-theorem
此外，更豐富的鏈接：
1. 知乎，Banach空間和不動點定理 ： https://zhuanlan.zhihu.com/p/26346061
2. 知乎，如何理解不動點定理？： https://www.zhihu.com/question/21835995
，使得