算法設計與分析 第八週 最大矩形

---

1.題目描述

---

2.選題原因

本週學習了動態規劃的相關知識，對於動態規劃有了一定的瞭解，因此選擇了一道動態規劃的題目，加深自己對於動態規劃相關算法的理解。

---

3.題目分析及算法

3.1分析

這道題如果按照正常的思路走的話，無非就是從最邊角的點開始遍歷，每次遍歷的一個點，再以這個點開始向兩邊查找，直到遇到0，說明矩形終止，最後比較矩形，得到矩形的大小。
讓我們簡單的看一下這樣的思路下的算法：

---

3.2算法1.0

初始化最大矩陣：Max = 0；
遍歷矩陣中的所有點
對每一個點(a, b)：

• 以此爲起點，開始向右，向下遍歷，遇到0則停下；記遍歷行爲x，列爲y。最後的矩形爲：(y - b) * (x - a)。
  下面我們來分析一下，很顯然，這種方法需要的時間複雜度非常大：對於每一個點，需要的複雜度爲從當前到最低端（最差情況），複雜度應該是O(n^3)，顯然是我們不能夠接受的。
  那麼我們有什麼方法可以改進呢？

---

3.2直方圖算法

考慮一個直方圖
如果我們有一個直方圖，以這個直方圖爲基礎，找直方圖的最大矩形是否好找呢？是非常好找的。我們只需要依次比較即可。那麼我們現在要做的就是如何將這個01矩陣轉化爲直方圖。
其實，畫直方圖也很好實現，考慮直方圖的特性：就是相鄰的1豎着壘起來。對任意一個點來說，自己的值一定是自己頭頂的元素值+1（自己是0的時候除外）
如何實現呢？
從每一行開始計算，將以上的數據承載在本行，舉一個簡單的例子：
該元素爲3，則證明頭上有2個1，如果元素爲1，則證明頭頂是0，如果該元素是0呢，證明頭頂是0，自己也是0。
這樣，在每一行都找尋一遍最大元素，並不斷地更新最大值，即可得到。
那麼還有一個重要的問題，就是怎麼求一個直方圖中的最大值？一個比較普遍的解法就是剪枝法，就不贅述了，主要的思路就是每求一個點，都用這個點和之前的結果去比較，如果不會比之前更大，那麼也不用接着後面的計算，直接跳過即可。
我們的算法可以進一步改進：

---

3.3算法3.2

維護數組直方圖，初始化爲第一行的元素隊列；
以行爲單位開始遍歷：對於每一行：

• 遍歷每一個元素，若該元素爲0，則直方圖的該位置爲0，否則爲直方圖該位置元素數值+1
• 用這一行裏最大的矩陣大小與維護值比較，取大的數。

---

3.4小例子

我們用一個簡單的小例子來解釋一下這個算法：

  ["1","0","1","0","0"],
  ["1","0","1","1","1"],
  ["1","1","1","1","1"],
  ["1","0","0","1","0"]

對於這樣的一個矩陣我們維護的直方圖應該是怎麼樣的呢？
第一行1, 0, 1, 0, 0
第二行2, 0, 2, 1, 1
第三行3, 1, 3, 2, 2
第四行4, 0, 0, 3, 0

---

4.關鍵代碼

4.1構建直方圖

        int max = 0;
        int row = matrix.size();
        int col = matrix[0].size();
        vector<int> height(col + 1, 0);
        //從每一行開始遍歷
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            stack<int> s;                   //維護當前最高的方塊的位置
            for (int j = 0; j < col + 1; ++j) {
                if (j < col) {
                    height[j] = matrix[i][j] == '1' ? height[j] + 1 : 0;
                }

4.2剪枝比較

                //運用剪枝的方法，每得到一個點，就求到目前的最大值
                //如果沒有最大的點大，那麼可以減去
                while (!s.empty() && height[s.top()] >= height[j]) {
                    int cur = s.top();
                    s.pop();
                    //比較到當前點和維護的最大解
                    int temp_max = height[cur] * (s.empty() ? j : (j - s.top() - 1));
                    max = max >  temp_max? max :temp_max;
                }
                s.push(j);

---

5.結果

---

6.源代碼

class Solution {
public:
    int maximalRectangle(vector<vector<char>>& matrix) {
        //去除空矩陣
        if (matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0) {
            return 0;
        }
        int max = 0;
        int row = matrix.size();
        int col = matrix[0].size();
        vector<int> height(col + 1, 0);
        //從每一行開始遍歷
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            stack<int> s;                   //維護當前最高的方塊的位置
            for (int j = 0; j < col + 1; ++j) {
                if (j < col) {
                    height[j] = matrix[i][j] == '1' ? height[j] + 1 : 0;
                }
                //運用剪枝的方法，每得到一個點，就求到目前的最大值
                //如果沒有最大的點大，那麼可以減去
                while (!s.empty() && height[s.top()] >= height[j]) {
                    int cur = s.top();
                    s.pop();
                    //比較到當前點和維護的最大解
                    int temp_max = height[cur] * (s.empty() ? j : (j - s.top() - 1));
                    max = max >  temp_max? max :temp_max;
                }
                s.push(j);
            }
        }
        return max;
    }
};