P2522 HAOI2011 Problem b [莫比烏斯反演,數論分塊]

P2522 HAOI2011

題意

對於給出的n個詢問，每次求有多少個數對$(x,y)$，滿足$a≤x≤b$，$c≤y≤d$，且$gcd(x,y) = k$，$gcd(x,y)$函數爲$x$和$y$的最大公約數.

題解

即求式子$\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d[gcd(x,y)=k]$.

記$f(n,m)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m[gcd(x,y)=k]$

根據二維前綴和公式,可以將式子轉換成:

$\sum_{x=a}^b\sum_{y=c}^d[gcd(x,y)=k]=f(b,d)+f(a-1,c-1)-f(a-1,d)-f(b,c-1)$

因此我們只要能得到$f(n,m)$的計算方法即可.

求$f(n,m)$的套路非常明顯:莫比比烏斯反演

由於$\sum_{k|d}\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m[gcd(x,y)=d] = \lfloor \frac{n}{k} \rfloor \lfloor \frac{m}{k} \rfloor$.

反演得到$f(n,m)=\sum_{k|d}\mu(\frac{d}{k})\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloor$

令$t = d/k$.

$f(n,m)=\sum_{t=1}^{n/d}\mu(t)\lfloor \frac{n}{kt} \rfloor \lfloor \frac{m}{kt} \rfloor$

對上式子進行分塊計算,可以將時間複雜度從$O(n)$降至$O(\sqrt{n})$.

總結

對於形如$f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$這樣的式子,我們都可以用$t=d/x$代換後數論分塊進行加速.

$f(x)=\sum_{t=1}^{n/x}\mu(t)g(\lfloor \frac{n}{xt} \rfloor)$

時間複雜度從$O(n)$降至$O(\sqrt{n})$.

代碼

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)

const int N = 50000;

int prime[N+10],zhi[N+10],mu[N+10],pcnt;

void sieve() {
    zhi[1] = mu[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= N;++i) {
        if(!zhi[i]) {
            mu[i] = -1;
            prime[pcnt++] = i;
        }
        for(int j = 0;j < pcnt && prime[j]*i <= N;++j) {
            zhi[i*prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else 
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i = 1;i <= N;++i) mu[i] += mu[i-1];
}
int a,b,c,d,k,T;
int calc(int n,int m) {
    int ans = 0;
    int lim = std::min(n/k,m/k);
    for(int i = 1,nx1,nx2,nxt;i <= lim;i=nxt+1) {
        nx1 = n/(n/i);
        nx2 = m/(m/i);
        nxt = nx1>nx2?nx2:nx1;
        ans += (mu[nxt]-mu[i-1])*(n/i/k)*(m/i/k);
    }
    return ans;
}
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    sieve();
    std::cin >> T;
    while(T--) {
        std::cin >> a >> b >> c >> d >> k;
        int ans = calc(b,d)+calc(a-1,c-1)-calc(a-1,d)-calc(b,c-1);
        std::cout << ans << std::endl;
    }
    return 0;
}