圖像處理作業第7次

圖像處理作業第7次

姓名：蔡少斐
學號：2019E8013261007
單位：計算技術研究所

1.請根據課本中Z變換的定義，證明如下結論。

• (1)若$x(n)$的$Z$變換爲$X(z)$，則$(-1)^nx(n)$的$Z$變換爲$X(-z)$
  根據$Z$變換的定義 $X(z)=\sum x(n)z^{-n},\sum(-1)^nx(n)z^{-n}=\sum x(n)(-z)^{-n}=X(-z)$。

• (2)若$x(n)$的$Z$變換爲$X(z)$，則$x(-n)$的$Z$變換爲$X(\frac{1}{z})$
  根據$Z$變換的定義 $X(z)=\sum x(n)z^{-n},\sum x(-n)z^{-n}=\sum x(n)z^{-(-n)}=\sum x(n){(\frac{1}{z})}^{-n}=X(\frac{1}{z})$。

• (3)若$x(n)$的$Z$變換爲$X(z)$，證明：$x_{down}(n)=x(2n) \leftrightarrow X_{down}(z)=1/2[X(z^{1/2})+X(-z^{1/2})]$
  根據$Z$變換的定義可知：$X_{down}(z)=\sum x_{down}(n)z^{-n}=\sum x(2n)z^{-n}=\sum 1/2[x(2n)(z^{1/2})^{-2n}+x(2n)(-z^{1/2})^{-2n}]=\sum 1/2[x(2n)(z^{1/2})^{-2n}+x(2n)(-z^{1/2})^{-2n}]+\sum 1/2[x(2n-1)(z^{1/2})^{-(2n-1)}+x(2n-1)(-z^{1/2})^{-(2n-1)}]=1/2[X(z^{1/2})+X(-z^{1/2})]$。

2.證明：

• 若$G_1(z)=-z^{-2k+1}G_0(-z^{-1})$,證明：$g_1(n)=(-1)^ng_0(2k-1-n)$

$-z^{2k+1}G_0(-z^{-1}) \leftrightarrow\sum g_0(n)(-z^{-1})^{-n}(-z^{-2k+1})=\sum g_0(n)(-1)^{n+1}z^{n-2k+1}$

令$-t=n-2k+1$

那麼

$\sum g_0(n)(-1)^{n+1}z^{n+2k+1}=\sum g_0(2k-1-t)(-1)^{2k-t}z^{-t}$

將$t$換成$n$，得到：

$\sum (-1)^ng_0(2k-1-n)z^{-n}$

因此$g_1(n)=(-1)^ng_0(2k-1-n)$

3.假設課本中給出完美重建濾波器的正交族對應的三個濾波器間的關係式是正確的，並以此爲基礎，推導$h_0,h_1$的關係。

當滿足如下式子時：

$g_1(n)=(-1)^ng_0(2k-1-n)$

$h_i(n)=g_i(2k-1-n),i=\{0,1\}$

$h_0(n)=g_0(2k-1-n) \rightarrow g_0(n)=h_0(2k-1-n)$

$h_1(n)=g_1(2k-1-n)=(-1)^{2k-1-n}g_0(2k-1-(2k-1-n))=(-1)^{n+1}g_0(n)=(-1)^{n+1}h_0(2k-1-n)$

是故

$h_1(n)=(-1)^{n+1}h_0(2k-1-n)$

4. 哈爾小波

截圖顯示：

$\frac{1}{4} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ \sqrt 2 & \sqrt 2 & \sqrt 2 & \sqrt 2 & -\sqrt 2 & -\sqrt 2 & -\sqrt 2 & -\sqrt 2 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt 2 & \sqrt 2 & \sqrt 2 & \sqrt 2 & -\sqrt 2 & -\sqrt 2 & -\sqrt 2 & -\sqrt 2\\ 2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & -2\\ 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\sqrt 2 & -2\sqrt 2\\ \end{matrix} \right]$