圖像處理作業 第8次

圖像處理作業 第8次

蔡少斐
2019E8013261007

7.11

說明尺度函數$\phi(x)=1 ,0.25 \le x\lt 0.75$並未滿足多分辨率分析的第二個要求.
$\phi_{1,0}(x)=\sqrt 2 \phi(2x)=1$ 當且僅當滿足$0.125 \le x\lt 0.375$
$\phi_{1,1}(x)=\sqrt 2 \phi(2x-1) = 1$ 當且僅當滿足$0.675 \le x \lt 0.875$
可以看出,在$0.375 \le x \lt 0.675$的位置,顯然$\phi(x)$不能由$\phi_{1,0}(x),\phi_{1,1}(x)$二者進行線性組合得到.
因此該尺度函數並未滿足多分辨率分析的第二個要求.

7.2

A)
令$j_0=1$重新計算函數$f(n)=\{1,4,-3,0\}$在區間$[0,3]$中的一維DWT.
$\phi(n)=\{1,1,1,1\}$
$\phi_{1,0}(n)=\sqrt 2 \phi(2n-0)=\sqrt2\{1,1,0,0\}$
$\phi_{1,1}(n)=\sqrt 2 \phi(2n-1)=\sqrt2\{0,0,1,1\}$

$\psi_{1,0}(n)=\sqrt 2 \psi(2n-0)=\sqrt2\{1,-1,0,0\}$
$\psi_{1,1}(n)=\sqrt 2 \psi(2n-1)=\sqrt2\{0,0,1,-1\}$

$W_{\phi}(1,0)=1/2 \sum_x f(x)\phi_{1,0}(x)=1/2(1*1+4*1-3*0+0*0)=5\sqrt2/2$
$W_{\phi}(1,1)=1/2 \sum_x f(x)\phi_{1,1}(x)=1/2(1*0+4*0-3*1+0*1)=-3\sqrt2/2$
$W_{\psi}(1,0)=1/2 \sum_x f(x)\psi_{1,0}(x)=1/2(1*1+4*-1-3*0+0*0)=-3\sqrt2/2$
$W_{\psi}(1,1)=1/2 \sum_x f(x)\psi_{1,1}(x)=1/2(1*0+4*0-3*1+0*-1)=-3\sqrt2/2$

B)
使用(A)的結果根據變換值$f(1)$

$f(n)=1/2( W_{\phi}(1,0)\phi_{1,0}(n)+W_{\phi}(1,1)\phi_{1,1}(n)+W_{\psi}(1,0)\psi_{1,1}(n)+W_{\psi}(1,0)\psi_{1,1}(n))$

$f(1)=\sqrt 2/2(5\sqrt2/2*1 -3\sqrt2/2*0 -3\sqrt2/2*(-1) -3\sqrt2/2*0)=4$

7.3

現在假設我們有一個長度爲8的信號f=[1 3 5 7 4 3 2 1], 利用哈爾小波進行兩層的快速小波變換分解，計算各層的濾波器輸出，然後再進行完美重建，請利用與書中例子相同的框圖進行計算。

$W_{\phi}(2,n) =f(n)=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}$
$\phi(n)=\{1/\sqrt2,1/\sqrt2\}$
$\psi(n)=\{1/\sqrt2,-1/\sqrt2\}$

$W_{\psi}(1,n)=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}*\{-1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=1/\sqrt2\{-1,-2,-2,-2,3,1,1,1,0\}|_{down2}=1/\sqrt2\{-2,-2,1,1\}$

$W_{\phi}(1,n)=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}*\{1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=1/\sqrt2\{1,4,8,12,11,7,5,3,0\}|_{down2}=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}$

$W_{\psi}(0,n)=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}*\{-1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=\{-4,2\}$

$W_{\phi}(0,n)=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}*\{1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=\{8,5\}$

重建:

$W_{\phi}(1,n)=\{-4,0,2,0\}*1/\sqrt2\{1,-1\}+\{8,0,5,0\}*1/\sqrt2\{1,1\}=1/\sqrt 2\{-4+8,4+8,2+5,-2+5\}=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}$

$f(n)=W_{\phi}(2,n)=1/\sqrt2\{-2,0,-2,0,1,0,1,0\}*1/\sqrt2\{1,-1\}+1/\sqrt2\{4,0,12,0,7,0,3,0\}*1/\sqrt2\{1,1\}=1/2\{-2+4,2+4,-2+12,2+12,1+7,-1+7,1+3,-1+3\}=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}$