[BFS]Codeforces 906C Party題解

題目大意

給出一個$n$個點$e$條邊的無向聯通圖，每次可以選中一個點，將這個點和它相鄰的點縮成一個點，求最少需要多少次才能把圖縮成一個點。

解題分析

首先要發現，以不同的順序選中同樣的點的結果其實是相同的，所以我們關注的就是選出哪些點，又由於$n\le22$，所以可以考慮二進制枚舉選出的點集S，然後是結論：

如果S內點聯通，且任意一個S外點都至少與一個S內點相連，那麼S合法。

那麼這兩個條件如何判斷？S外點與S內點相連可以事先用二進制求出每個點相連的點，用或運算就可以$O(n)$判斷，但是如何判斷聯通，只能BFS或DFS，但是複雜度是$O(e)$，最壞情況爲$O(n^2)$，總複雜度爲$O(2^nn^2)$,對於$n\le22$有點懸（雖然加一些神奇優化也能過），子集枚舉只能$O(2^2)$,所以只能在BFS上優化，這裏就要引用一個不常見的BFS小優化。

對於正常的BFS，需要開兩個數組que和vis分別表示隊列內元素和是否已進入隊列，但如果對於此題$n$特別小的情況下可以考慮兩個都用二進制優化。每次先取出que內一個元素x，然後加入vis內，將x相連的邊加入隊列，這些都可以用異或或或(c++ ^或 |)運算解決，但是將相鄰元素加入隊列時要防止再度入隊，所以可以對詢問值再&~vs(vs二進制取反)。

具體代碼如下

int vs=0,que=s&(-s); //初始選一個入隊
while (que){
	int c=lst[que]; //lst[x]表示x的二進制最右是1的一位
	vs|=1<<(c-1); //打標記
	que^=1<<(c-1); //在隊列中去除該元素
	que|=f[c]&s&~vs; //加入相鄰元素
}

示例代碼

題目傳送門

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=(1<<22)+5;
int n,e,ans,lst[maxn],ct[maxn],f[30];
int main()
{
	freopen("party.in","r",stdin);
	freopen("party.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&e);
	for (int i=1;i<(1<<n);i++){
		ct[i]=ct[i>>1]+(i&1);
		lst[i]=(i&1)?1:lst[i>>1]+1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=1<<(i-1);
	for (int i=1,x,y;i<=e;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		f[x]|=(1<<(y-1)); f[y]|=(1<<(x-1));
	}
	ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (f[i]!=(1<<n)-1) ans=(1<<n)-1;
	for (int s=1;s<(1<<n)-1;s++){
		int S=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			if (s>>(i-1)&1) S|=f[i];
		if (S!=(1<<n)-1) continue;
		int vs=0,que=s&(-s);
		while (que){
			int c=lst[que];
			vs|=1<<(c-1);
			que^=1<<(c-1);
			que|=f[c]&s&~vs;
		}
		if (vs==s&&ct[ans]>ct[s]) ans=s;
	}
	printf("%d\n",ct[ans]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (ans>>(i-1)&1) printf("%d ",i);
	return 0;
}