揹包

01揹包問題：（不能進行分割）

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAX 1000
struct bag
{
	int W,V,m;     // W；物品質量   V 物品價值  m ；考慮過 前m 個物品 
	float per;    // 物品價值單量 
}a[MAX];

int cmp(bag a,bag b )     //進行降序排序
{
	return a.per >b.per ;
}

int main()
{
	int n,total,i;
	cout<<"請輸入物品種類: ";
	cin>>n;
	cout<<"請輸入揹包容量："; 
	cin>>total; 
	cout<<"請輸入每個物品的重量 和價值"<<endl ; 
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>a[i].W>>a[i].V ;
	      a[i].per =a[i].V /a[i].W ;
	}
	 
	 
	 
	 sort (a,a+n,cmp);  //降序排序  
	 
	 int sumW=0,sumV=0;
	 for(i=0;i<n&&(total-sumW)>=a[i].W ;i++)
	 {
	 	sumV+=a[i].V;
	 	sumW+=a[i].W ;
	  } 
	  
	  if(i<n)
	  {
	  	sumV+=(total-sumW)/a[i].W *a[i].V ; 
	  } 
	  
	  printf("%d",sumV);
	  return 0;
	  
 } 

01揹包問題描述：有編號分別爲a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，每件物品數量只有一個，現在給你個承重爲10的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具有最大的價值總和？

     

name	a	b	e	c	d
排序後	2	2	4	6	5
	6	3	6	5	4

name	weigh	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	6	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	6	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

對於 01揹包這類問題，通過一個二維數組進行去解決，f[i][j]  ,i 表示加入揹包內的前 i個 物品 ， j 表示 揹包的承重, f[i][j] 表示當前狀態下揹包內物品的最大總價值；

對於一個物品 我們有放入和不放入兩種狀態選擇

（1）放入揹包中  f[i][j]= f[i-1][j-weight[i] ] + value[i]  , f[i-1][j-weight[i] ]  表示沒有放入物品 之前揹包內的總價值；

（2）不放入揹包內  f[i][j]=f[i-1][j]  

 

 因此狀態轉移方程   f[i][j] = max{ f[i-1][j]  ,f[i-1] [j-weight[i] ] +value[i]  }

還有一種 特殊情況  揹包內放不下  f[i][j]=f[i-1][j];  最後 f[n][m]就是我們需要的答案

下面是利用二維數組的代碼：

#include<stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int weight[100];
int value[100];
int f[100][100];
int max(int a,int b)
{
    if(a>b) 
	 return a;
	else 
	 return b;
}

int main()
{
int n,m;
cout<<"請輸入物品種類數量： ";
cin>>n;
cout<<"請輸入每個物品的重量和價值： "<<endl; 
for(int i=1;i<=n;i++) 
cin>>weight[i]>>value[i]; 
cout<<"請輸入揹包的承重";
 cin>>m; 
 for(int i=1;i<=n;i++) 
 { 
   for(int j=1;j<=m;j++)
    { 
	if(weight[i]>j)
	 { 
	   f[i][j]=f[i-1][j]; 
	} 
	else
    { 
	f[i][j] =max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]); 
	} 
   } 
} 
cout<<"揹包內最大價值:"<<f[n][m]<<endl; return 0;
} 

01揹包還有一種節省空間的方法 利用 一維數組

#include<stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int weight[100];
int value[100];
int f[100][100];
int max(int a,int b)
{
	if(a>b)
	 return a;
	else
	  return b;
}

int main()
{
	int n,m;
	cout<<"請輸入物品種類數量： ";
	cin>>n;
	cout<<"請輸入每個物品的重量和價值： "<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     cin>>weight[i]>>value[i];
     cout<<"請輸入揹包的承重";
	 cin>>m; 
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
     	for(int j=m;j>=1;j--)
     	{
     		if(weight[i]<=j)
     		{
		f[j] =max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
		 }
	
	 }
	 cout<<"揹包內最大價值:"<<f[m]<<endl;
	 return 0;
}

完全揹包

      完全揹包與01揹包的區別就是 ：完全揹包的每個物品的數量有無限個， 而01揹包的每個物品數量只有一個；

（1）只考慮一件物品時：f[i][j]=j/weight[i];

   遞推公式：f[i][j]=max {f[i-1][j], f[i][j-weight[i]] +value[i] };

 01揹包的內循環是逆序的 ，而完全揹包的內循環是順序的 ，這樣都是爲了得到當前狀態

#include<stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int weight[100];
int value[100];
int f[100];
int max(int a,int b)
{
	if(a>b)
	 return a;
	else
	  return b;
}

int main()
{
	int n,m;
	cout<<"請輸入物品種類數量： ";
	cin>>n;
	cout<<"請輸入每個物品的重量和價值： "<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     cin>>weight[i]>>value[i];
     cout<<"請輸入揹包的承重";
	 cin>>m; 
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
     	for(int j=weight[i];j<=m;j++)
     	{
     		     	
		f[j] =max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
			 
		 }
	 }
	 cout<<"揹包內最大價值:"<<f[m]<<endl;
	 return 0;
}

多重揹包

   多重揹包問題描述：有編號分別爲a,b,c的三件物品，它們的重量分別是1，2，2，它們的價值分別是6，10，20，他們的數目分別是10，5，2，現在給你個承重爲 8 的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具有最大的價值總和？

       多重揹包與完全揹包和01揹包的區別就是多重揹包中 物品的數量是給定的，但一定不是無限個。

我們可以把多重揹包問題轉化爲01揹包問題 例如 ： 2 個 價值爲 5 的物品 可以看做 a物品的價值 爲5 ，b物品的價值也爲 5；

#include <iostream>
using namespace std;

int weight[1000];
int value[1000];
int num[1000];
int f[1000];
int max(int a, int b) 
{
	if(a>b)
	 return a;
	 else 
	  return b;
  
}
int main() {
    int n, m;
    cout << "請輸入物品個數:";
    cin >> n;
    cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量、價值和數量:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
	{
        cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i];
    }
    
    int k = n + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
	 {
        while (num[i] != 1) {
            weight[k] = weight[i];
            value[k] = value[i];
            k++;
            num[i]--;
        }
    }
    cout << "請輸入揹包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        for (int j = m; j >= 1; j--) {
            if (weight[i] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << "揹包能放的最大價值爲:" << f[m] << endl;
}