Manacher算法

0. 問題定義

最長迴文子串問題：給定一個字符串，求它的最長迴文子串長度。

如果一個字符串正着讀和反着讀是一樣的，那它就是迴文串。下面是一些迴文串的實例：

12321 a aba abba aaaa tattarrattat（牛津英語詞典中最長的迴文單詞）

1. Brute-force 解法

對於最長迴文子串問題，最簡單粗暴的辦法是：找到字符串的所有子串，遍歷每一個子串以驗證它們是否爲迴文串。一個子串由子串的起點和終點確定，因此對於一個長度爲n的字符串，共有n^2個子串。這些子串的平均長度大約是n/2，因此這個解法的時間複雜度是O(n^3)。

2. 改進的方法

顯然所有的迴文串都是對稱的。長度爲奇數迴文串以最中間字符的位置爲對稱軸左右對稱，而長度爲偶數的迴文串的對稱軸在中間兩個字符之間的空隙。可否利用這種對稱性來提高算法效率呢？答案是肯定的。我們知道整個字符串中的所有字符，以及字符間的空隙，都可能是某個迴文子串的對稱軸位置。可以遍歷這些位置，在每個位置上同時向左和向右擴展，直到左右兩邊的字符不同，或者達到邊界。對於一個長度爲n的字符串，這樣的位置一共有n+n-1=2n-1個，在每個位置上平均大約要進行n/4次字符比較，於是此算法的時間複雜度是O(n^2)。

3. Manacher 算法

對於一個比較長的字符串，O(n^2)的時間複雜度是難以接受的。Can we do better?

先來看看解法2存在的缺陷。

1) 由於迴文串長度的奇偶性造成了不同性質的對稱軸位置，解法2要對兩種情況分別處理；
2) 很多子串被重複多次訪問，造成較差的時間效率。

缺陷2）可以通過這個直觀的小?體現：

char: a b a b a
  i : 0 1 2 3 4

當i==1，和i==2時，左邊的子串aba分別被遍歷了一次。

如果我們能改善解法2的不足，就很有希望能提高算法的效率。Manacher正是針對這些問題改進算法。

(1) 解決長度奇偶性帶來的對稱軸位置問題

Manacher算法首先對字符串做一個預處理，在所有的空隙位置(包括首尾)插入同樣的符號，要求這個符號是不會在原串中出現的。這樣會使得所有的串都是奇數長度的。以插入#號爲例：

aba  ———>  #a#b#a#
abba ———>  #a#b#b#a#

插入的是同樣的符號，且符號不存在於原串，因此子串的迴文性不受影響，原來是迴文的串，插完之後還是迴文的，原來不是迴文的，依然不會是迴文。

(2) 解決重複訪問的問題

我們把一個迴文串中最左或最右位置的字符與其對稱軸的距離稱爲迴文半徑。Manacher定義了一個迴文半徑數組RL，用RL[i]表示以第i個字符爲對稱軸的迴文串的迴文半徑。我們一般對字符串從左往右處理，因此這裏定義RL[i]爲第i個字符爲對稱軸的迴文串的最右一個字符與字符i的距離。對於上面插入分隔符之後的兩個串，可以得到RL數組：

char:    # a # b # a #
 RL :    1 2 1 4 1 2 1
RL-1:    0 1 0 3 0 1 0
  i :    0 1 2 3 4 5 6

char:    # a # b # b # a #
 RL :    1 2 1 2 5 2 1 2 1
RL-1:    0 1 0 1 4 1 0 1 0
  i :    0 1 2 3 4 5 6 7 8

上面我們還求了一下RL[i]-1。通過觀察可以發現，RL[i]-1的值，正是在原本那個沒有插入過分隔符的串中，以位置i爲對稱軸的最長迴文串的長度。那麼只要我們求出了RL數組，就能得到最長迴文子串的長度。

於是問題變成了，怎樣高效地求的RL數組。基本思路是利用迴文串的對稱性，擴展迴文串。

我們再引入一個輔助變量MaxRight，表示當前訪問到的所有迴文子串，所能觸及的最右一個字符的位置。另外還要記錄下MaxRight對應的迴文串的對稱軸所在的位置，記爲pos，它們的位置關係如下。

我們從左往右地訪問字符串來求RL，假設當前訪問到的位置爲i，即要求RL[i]，在對應上圖，i必然是在po右邊的(obviously)。但我們更關注的是，i是在MaxRight的左邊還是右邊。我們分情況來討論。

1）當i在MaxRight的左邊

情況1)可以用下圖來刻畫：

我們知道，圖中兩個紅色塊之間（包括紅色塊）的串是迴文的；並且以i爲對稱軸的迴文串，是與紅色塊間的迴文串有所重疊的。我們找到i關於pos的對稱位置j，這個j對應的RL[j]我們是已經算過的。根據迴文串的對稱性，以i爲對稱軸的迴文串和以j爲對稱軸的迴文串，有一部分是相同的。這裏又有兩種細分的情況。

1. 以j爲對稱軸的迴文串比較短，短到像下圖這樣。
   

這時我們知道RL[i]至少不會小於RL[j]，並且已經知道了部分的以i爲中心的迴文串，於是可以令RL[i]=RL[j]。但是以i爲對稱軸的迴文串可能實際上更長，因此我們試着以i爲對稱軸，繼續往左右兩邊擴展，直到左右兩邊字符不同，或者到達邊界。

1. 以j爲對稱軸的迴文串很長，這麼長：
   

這時，我們只能確定，兩條藍線之間的部分（即不超過MaxRight的部分）是迴文的，於是從這個長度開始，嘗試以i爲中心向左右兩邊擴展，，直到左右兩邊字符不同，或者到達邊界。

不論以上哪種情況，之後都要嘗試更新MaxRight和pos，因爲有可能得到更大的MaxRight。

具體操作如下：

step 1: 令RL[i]=min(RL[2*pos-i], MaxRight-i)
step 2: 以i爲中心擴展迴文串，直到左右兩邊字符不同，或者到達邊界。
step 3: 更新MaxRight和pos

2）當i在MaxRight的右邊

遇到這種情況，說明以i爲對稱軸的迴文串還沒有任何一個部分被訪問過，於是只能從i的左右兩邊開始嘗試擴展了，當左右兩邊字符不同，或者到達字符串邊界時停止。然後更新MaxRight和pos。

(3) 算法實現

#Python
def manacher(s):
    #預處理
    s='#'+'#'.join(s)+'#'

    RL=[0]*len(s)
    MaxRight=0
    pos=0
    MaxLen=0
    for i in range(len(s)):
        if i<MaxRight:
            RL[i]=min(RL[2*pos-i], MaxRight-i)
        else:
            RL[i]=1
        #嘗試擴展，注意處理邊界
        while i-RL[i]>=0 and i+RL[i]<len(s) and s[i-RL[i]]==s[i+RL[i]]:
            RL[i]+=1
        #更新MaxRight,pos
        if RL[i]+i-1>MaxRight:
            MaxRight=RL[i]+i-1
            pos=i
        #更新最長迴文串的長度
        MaxLen=max(MaxLen, RL[i])
    return MaxLen-1

(4) 複雜度分析

空間複雜度：插入分隔符形成新串，佔用了線性的空間大小；RL數組也佔用線性大小的空間，因此空間複雜度是線性的。
時間複雜度：儘管代碼裏面有兩層循環，通過amortized analysis我們可以得出，Manacher的時間複雜度是線性的。由於內層的循環只對尚未匹配的部分進行，因此對於每一個字符而言，只會進行一次，因此時間複雜度是O(n)。