USACO 201812 白金組T1題解

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題目大意

奶牛Bessie在一條橫樑上。橫樑有$n+2$個位置，分別爲$0,1,\cdots,n+1$。

Bessie最終得到的錢和她跳下橫樑的位置有關。如果Bessie到達位置$0$或位置$n+1$，那麼Bessie將從橫樑的一端掉下，得到$0$元錢。

當Bessie在位置$k$時，她可以決定做以下兩件事之一：

• 等概率移動到位置$k-1$或$k+1$。
• 跳下橫樑，得到$f(k)$元錢。

請求出Bessie從$1,\cdots,n$的每個位置開始，按最優策略期望能得到的錢。

輸入格式

第一行，一個整數$n(2\le n\le10^5)$。接下來$n$行每行一個整數$f(1),\cdots,f(n)(1\le f(k)\le10^9)$。

輸出格式

$n$行，第$i$行輸出從位置$i$開始能得到的錢，乘以$10^5$後下取整。

題解

對於位置$0,1,\cdots,n+1$，需要求出Bessie到達該位置時，是移動還是跳下（對於位置$0$與$n+1$必須跳下）。

對於如圖所示的情形，假設紅色的點$l,r$選擇跳下，藍色的點$l+1,\cdots,r-1$選擇移動。

設$ans[i]$爲從位置$i$開始能得到的錢，則有如下方程組：
$ans[l]=f(l)\\ ans[i]=\frac{ans[i-1]+ans[i+1]}2(l<i<r)\\ ans[r]=f(r)\\$
解得
$ans[i]=\frac{f(l)\times(r-i)+f(r)\times(i-l)}{r-l}(l\le i\le r)$
即：在平面上，點$(i,ans[i])$在$(l,f(l))$與$(r,f(r))$連接構成的線段上！

所以，要想使所有$ans[i]$最大，需要求出點$(0,0),(1,f(1)),\cdots,(n,f(n)),(n+1,0)$的上凸殼，

然後對於在凸殼上的點選擇跳下，其他點選擇移動即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=100005;
int n,x[N];
ll f[N];
int main(){
	freopen("balance.in","r",stdin);
	freopen("balance.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);x[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&f[i]);
	for(int i=1;i<=n+1;i++){
		int a=x[x[0]],b=x[x[0]-1];
		while(x[0]>1&&(f[i]-f[a])*(i-b)>=(f[i]-f[b])*(i-a)){
			--x[0];
			a=x[x[0]],b=x[x[0]-1];
		}
		x[++x[0]]=i;
	}
	for(int i=1;i<x[0];i++){
		int v=x[i],u=x[i+1];
		for(int j=v;j<u;j++)if(j){
			ll w=f[v]*(u-j)+f[u]*(j-v);
			printf("%lld\n", (ll)floor(w*100000.0/(u-v)) );
		}
	}
	return 0;
}