BZOJ - 2118 墨墨的等式 (分析 + 最短路)

題目鏈接

題意：

給出每一個 $a_i$ ，$B$ 的取值範圍，讓你求這樣一個等式 $a_1 * x_1+a_2 * y_2+…+a_n * x_n=B$，有多少組非負整數解。

分析：

乍一看好像很難，無從下手。

那麼就百度一下（霧

首先，我們知道，對於一個可以求出來的 $B$，那麼肯定會有 $B$ $\%$ $a_i$ = $x$，那麼這樣子每一個

$B + k*a_i$ $（k = 1,2...）$

都是可以被構造出來的。

那麼，這樣我們就可以對於每一個 $x$ 找出最小可能的 $B$，然後就可以統計答案了。

那麼找出最小可能的 $B$ 的過程其實就是一個最短路問題。

然後 $a_i$ 取多少呢，當然是最小非 0 的的那個，越小那麼 $x$ 就越少，當然其他的 $a_i$ 也是可以的。

在這裏我把 $v$ 作爲我選的最小那個 $a_i$。

$dis[i]$ 表示 $(a_1 * x_1+a_2 * y_2+…+a_n * x_n)$ $\%$ $v=i$ 的最小路徑 。

跑完之後統計答案就是對於每一個 $tag >= dis[i]$

$ans$ $+= (tag-dis[i])/v+1$

$+1$ 是 $dis[i]$ 本身也可以作爲一個答案。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/rope>
using namespace __gnu_cxx;
using namespace std;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define pii pair<int,int>
#define eps 1e-6
#define debug(a) cout << #a": " << a << endl;
#define eularMod(a, b) a < b ? a : a % b + b
inline int lowbit(int x){ return x & -x; }
const int N = 5e5 + 10;
const int mod = (int) 123456789;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const long long LINF = (1LL << 62);
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const double PI = acos(-1.0);
 
LL dis[N];
int v[20];
bool vis[N];
queue<int> Q;
int n, MI = INF;
 
void spfa () {
    for (;!Q.empty();) Q.pop();
    Q.push(0);
 
    for (;!Q.empty();) {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
 
        vis[u] = false;
 
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int to = (u + v[i]) % MI;
 
            if (dis[to] > dis[u] + v[i]) {
                dis[to] = dis[u] + v[i];
                if (!vis[to]) {
                    vis[to] = true;
                    Q.push(to);
                }
            }
        }
 
    }
}
LL query (LL x) {
    LL ans = 0;
 
    for (int i = 0; i < MI; i++) {
        if (x >= dis[i]) ans += (x - dis[i]) / MI + 1;
    }
 
    return ans;
}
 
int main() {
#ifdef purple_bro
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    LL L, R;
 
    scanf("%d%lld%lld", &n, &L, &R);
 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &v[i]);
        if (v[i] == 0) {
            i--;
            n--;
            continue;
        }
        MI = min(MI, v[i]);
    }
 
    mst(dis, 0x3f);
 
    dis[0] = 0;
 
    spfa();
 
    printf("%lld\n", query(R) - query(L - 1));
 
    return 0;
}