分Bin的求法

功率譜$C_l$具有如下的表示：
$\left\langle a_{lm}a^*_{l'm'}\right\rangle=\delta_{ll'}\delta_{mm'}C_\ell$
這裏是系綜平均。
對於理論上的功率譜$C_\ell$, 可以通過CAMB直接生成。通常假設上式中$a_{lm}$服從高斯分佈。
反推$a_{lm}$有：$a_{lm}=\sqrt(C_\ell)\times g$, $g$是高斯函數,比如可以假設服從N（0，1）分佈。
於是可以得到

• 第一個 宇宙(天圖)：$a_0, a_{10}, a_{11}, a_{20}, a_{21}, a_{22}...$
  上面有以下幾點說明：1）$a_0=\sqrt(C_0)\times g, a_{10}=\sqrt(C_1)\times g, a_{11}=\sqrt(C_1)\times g, a_{20}=\sqrt(C_2)\times g, a_{21}=\sqrt(C_2)\times g, ...$,這裏在求$a_{10}, a_{11}$時雖然是同一個$C_1$, 但是高斯分佈不一樣，所以值是不同的. 2）實際計算過程中$\ell$最小值是2，不是0. 3) $a_{1-1}=a_{11}$
• 第二個宇宙： $a_0, a_{10}, a_{11}, a_{20}, a_{21}, a_{22}...$
  計算過程跟上面一樣，只是表示的是第二個天圖。
  注：$\left( \frac{\Delta C}{C}\right)=\sum_{\ell=0}^{\infin}\sum_{m=-\ell}^{m=\ell}a_{lm}Y_{lm}$, 這裏$Y_{lm}(\theta,\phi)$是球諧函數，是角度的函數。
• 第三個宇宙
• …
• …
  在得到足夠多的天圖之後(比如生成1000張)，現在要計算$C_\ell$. 利用公式
  $\left\langle a_{lm}a^*_{l'm'}\right\rangle=\delta_{ll'}\delta_{mm'}C_\ell$
  即$C_\ell=\frac{1}{2\ell+1}\sum_ma^2_{lm}$, 這裏因爲$a是實數數值，所以複共軛是本身$
  $C_0 = a_{00}, C_1=\frac{1}{3}(a^2_{1-1}+a^2_{10}+a^2_{11})...$
  對每個宇宙都一樣的求法，就可以得到$C_0, C_1, C_2...$, 即
• 第一個宇宙 $C_0, C_1, C_2...$
• 第二個宇宙 $C_0, C_1, C_2...$
• 第三個宇宙 $C_0, C_1, C_2...$
• 第四個宇宙 $C_0, C_1, C_2...$
• …

如果要求bin，比如$\ell從1-10$求一個bin，則有$C^{b0}_0=\frac{1}{10}\left(C_0+...+C_{10}\right)$

• 第一個宇宙 $C^{b0}_0, C^{b1}_1, C^{b2}_2...$
• 第二個宇宙 $C^{b0}_0, C^{b1}_1, C^{b2}_2...$
• 第三個宇宙 $C^{b0}_0, C^{b1}_1, C^{b2}_2...$
• 第四個宇宙 $C^{b0}_0, C^{b1}_1, C^{b2}_2...$
• …
• 第M個宇宙 $C^{b0}_0, C^{b1}_1, C^{b2}_2...$
  先看$C^{b0}_0$, 將這M個宇宙的$C^{b0}_0$值畫出來，就可以知道這些$C^{b0}_0$的分佈：
  
  但是fitting出分佈其實有點兒麻煩，這裏也不講分佈的事情。而是求分bin後的error.
  $\Delta C^{b0}_l=\frac{1}{M}(\hat C^{b0}_0-\mu)^2$
  實際上就是求方差variance， 將所有的variance求出來即可。