注：这是属于机理型建模法，坦白说，这种题型难度很大。以下面这道题为例，它的程序是通过对整个打车系统进行仿真，然后再进行求解，难度不可谓不大。。。其实，我到现在还没完全看懂这个程序，哭唧唧。。。。在数学建模选题时，我觉得应该尽可能避开这类题。
1. 问题重述
1.1 背景资料与条件
出租车是市民出行的重要交通工具之一，“打车难”是人们关注的一个社会 热点问题。随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打 车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出 租车的补贴方案。
1.2 需要解决的问题
（1）试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 （2）分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助。 （3）如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。
2. 建模与求解思路
(1) 首先要找到合理的指标；
(2) 采用机理仿真方式对打车的流程中乘客和出租车的行为进行仿真；
(3) 计算整个打车系统中的指标，优化打车方案，具体实现的主要代码如下：
%% 出租车补贴方案仿真程序
% 《MATLAB数学建模方法与实践》(《MATLAB在数学建模中的应用》升级版)，北航出版社，卓金武、王鸿钧编著.
clc, clear, close all
%% 数据结构设计
% passengers:
% [出发点横座标，出发点纵座标，目的地横座标，目的地纵座标，出行里程]
% 即[xs,ys,xd,yd,l]
% taxis
% [出租车位置横座标，出租车位置纵座标，出租车被占用里程]
% 即[x_taxi,y_taxi,lo]
r_valid = 2/10;%出租车有效覆盖半径
xmax = 111*cos(pi*34/180)*1.4;
ymax = 0.7*111;
xmax = xmax/10;
ymax = ymax/10;
psnger_total = 80;
taxi_total = 152;
%先生成5000个出发点
for i = 1:psnger_total
passengers(i,:) = gen_passenger();
end
for i = 1:taxi_total
taxis(i,:) = gen_taxi();
end
figure
scatter(taxis(:,1)*10,taxis(:,2)*10)
xlabel('x(km)')
ylabel('y(km)')
all_B = [];
all_K = [];
for i = 1:200
%% 首先更新出租车状态
lc = taxis(:,3) - 0.01;%出租车被占用里程
lc(lc < 0) = 0;
taxis(:,3) = lc;
%空车随机一个方向前进0.01
valid_lines = find( lc == 0 );
all_K = [all_K,1-length(valid_lines)/taxi_total];
for m = 1:length(valid_lines)
k = valid_lines(m);
while(1)
degree = 2*pi*rand();%出行方向
new_x = taxis(k,1) + 0.01.*cos(degree);
new_y = taxis(k,2) + 0.01.*sin(degree);
if(new_x>=0 && new_x<=xmax && new_y>=0 && new_y<=ymax)
taxis(k,1:2) = [new_x,new_y];
break
end
end
end
%% 乘客加入系统
add_passengers_total = 4;%round(normrnd(10,3));
add_passengers = zeros(add_passengers_total,5);
for n = 1:add_passengers_total
add_passengers(n,:) = gen_passenger();
end
passengers = [passengers;add_passengers];
%% 计算各乘客视野内出租车数目
for j = 1:length(passengers)
p = passengers(j,:);
if isnan(p(1))
continue
end
temp_taxis = taxis;
%被占用的出租车不参与打车
invalid_lines = find(temp_taxis(:,3)>0);
temp_taxis(invalid_lines,:) = nan;
%% 然后是乘客乘车
r = sqrt((temp_taxis(:,1)-p(1)).^2+(temp_taxis(:,2)-p(2)).^2);
taxi_num = find(r<r_valid);%视野范围内的车辆
if isempty(taxi_num)%视野内没有车，下一位乘客
continue;
else
%随机选一辆乘坐
index = round(rand()*(length(taxi_num)-1))+1;
taxi_num = taxi_num(index);
taxis(taxi_num,3) = p(5) + sqrt((taxis(taxi_num,1)-p(1))^2+(taxis(taxi_num,2)-p(2))^2);%此乘客p乘坐的出租车被占用
taxis(taxi_num,1) = p(3);taxis(taxi_num,2) = p(4);%将其更新到目的地
passengers(j,:) = nan;%更新乘客状态，上车的乘客变为nan，移出系统
end
end
all_B = [all_B,calcu_b(passengers,taxis)];
end
%% 结果可视化
figure
hold on
scatter(taxis(:,1)*10,taxis(:,2)*10,'g*')
legend('初始位置','一段时间后位置')
%20次演化后才得到平时状态，故只保留20次之后的数据
pos = (20:length(all_B));
figure
plot((pos-20)/4.5,all_B(pos));
xlabel('时间(分钟)')
ylabel('数目不平衡度')
figure
plot((pos-20)/4.5,all_K(pos));
xlabel('时间(分钟)')
ylabel('里程利用率')
figure
res = sqrt( ((all_K-0.66)./0.66).^2 + (all_B-1).^2 );
plot((pos-20)/4.5,res(pos));
xlabel('时间(分钟)')
ylabel('供需不平衡度')
程序的仿真结果如图 1、图 2 所示。
图 1 出租车初始位置
图 2 评价指标随时间的变化趋势图
3. 点评
本问题如果按照传统的建模方法， 无论是建模还是求解难度都比较大， 但如果采用元胞自动机思想的仿真法，就可以利用系统的方法对整个系统进行仿真，再通过参数优化得到最佳的补贴。
程序本身虽然还有不少可以改进的地方， 但总的来说， 程序的建模思路清晰， 程序框架和模块的构造都比较合理， 编程中使用了分节、注释、变量预定义、函数定义等方法， 使得整个程序既具备良好的功能性，也体现了可读性、性能提升等程序开发细节， 在三天时间内能达到这个水平， 确实不容易。
当然在此基础上还有不少可以提升、拓展的空间， 比如如何在此程序基础上结合不同的城市或区域，仿真出更真实的打车情况， 另外，还可以在指标上拓展思路， 比如一个指标还是有些偏面，但既然可以做仿真， 各种指标都可以仿真出来， 对提升整个建模水平还是比较有帮助的。