Lecture 16: Projection Matrix and Least Square
投影矩阵
据前几讲, Pb=p,b=p+e
- 其中P是投影矩阵,b是需要投影到列空间的向量,p是投影到列空间的向量。
容易得到,p∈A的列空间,A的零空间⊥A的列空间
- 若Pb⊥A的列空间,则Pb=0
- 若Pb在A的列空间中,则Pb=b
最小二乘/线性回归
我们需要线性拟合一组数据,
a(x,y):
a1(1,1), a2(2,2) , a3(3,2)
在二维平面中,找到最优直线表达这组数据。
数学表示
- 如果直线能同时穿过三个点,那么误差就是零了。⎩⎨⎧C+D=1C+2D=2C+3D=2
也就是上式得有解,但是很可惜无解,就相当于 最右边一列 b 不在前两列组成的 列空间 A 中。那么我们只能 b 投影到 A 中。
- 退而,找到 f(t)=C+Dt,s.t minΣ(y−f(t))2
- 误差 = (C+D−1)2+(C+2D−2)2+(C+3D−2)2=e12+e22+e32=∣∣Ax−b∣∣2 ---- 求偏导
- 由前几讲,上式 和求 ATAx=ATb 中的 x = [C D] 是一样的。 ---- 解方程
最小二乘前提
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A 各列线性无关,因为这样AAT可逆,上面的方程才有解
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那么为什么A各列线性无关,AAT可逆呢?
A 和 AAT 的零空间是一样的, 秩也一样