动态规划之0-1揹包问题

首先是问题描述：给定n种物品和一揹包，物品i的重量是wi，其价值是pi，揹包的容量是M，问如何选择装入揹包中的物品总价值最大？

可以这样理解：揹包的揹负有上限，因此在这个上限内尽可能多的装东西，并且价值越多越好。

在这里我之想讨论动态规划解决这个问题的详细过程。

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。因为揹包的最终最大容量未知，所以，我们得从1到M一个一个的试，比如，刚开始任选N件物品中的一个，看对应的M的揹包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多少空间，则，多出来的空间能放N-1物品中的最大价值，怎么能保证总选则是最大价值呢，看下表：
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从揹包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,揹包容量为3则里面放4.这样,这一排揹包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入揹包.则再看2号物品.当揹包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而揹包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.揹包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的揹包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m),f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.

下面是一种实现过程：（C语言描述）

#include<stdio.h>
intc[10][100];
intknapsack(intm,intn)
{
inti,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<n+1;i++)
scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<100;j++)
c[i][j]=0;
for(i=1;i<n+1;i++)
for(j=1;j<m+1;j++)
{
if(w[i]<=j){
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
else
c[i][j]=c[i-1][j];
}else

c[i][j]=c[i-1][j];
}
return(c[n][m]);
}
intmain()
{
intm,n;inti,j;

printf("inputthemaxcapacityandthenumberofthegoods:\n");
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("Inputeachone(weightandvalue):\n");
printf("%d",knapsack(m,n));
printf("\n");
for(i=0;i<10;i++)
for(j=0;j<15;j++)
{
printf("%d",c[i][j]);
if(j==14)printf("\n");
}
system("pause");
}