【題目描述】
Given a stringSand a stringT, count the number of distinct subsequences ofTinS.
A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie,"ACE"is a subsequence of"ABCDE"while"AEC"is not).
給出字符串S和字符串T，計算S的不同的子序列中T出現的個數。
子序列字符串是原始字符串通過刪除一些(或零個)產生的一個新的字符串，並且對剩下的字符的相對位置沒有影響。(比如，“ACE”是“ABCDE”的子序列字符串,而“AEC”不是)。
【題目鏈接】
http://www.lintcode.com/en/problem/distinct-subsequences/
【題目解析】
這道題目是一道比較基礎的動態規劃題目，關鍵問題在理解題意和恰當的設計狀態並列出狀態轉移方程。關於狀態的設立，主要還是分析題目的步驟，規劃階段，然後將每個階段的結束視爲一個狀態，來進行設立。
對於這道題目，我們不妨設f(i, j)表示S長度爲i的前綴和T長度爲j的前綴形成的兩個字符串在這道題目下的答案是多少，即設S(i)表示S長度爲i的前綴，T(j)表示T長度爲j的前綴，則f(i, j)表示有多少個S(i)的子序列等價於T(j)。那麼我們要求解的答案就可以用f(N, M)來表示，其中N是S的長度，M是T的長度。
那麼如何求解f(i, j)呢？這就要牽涉到狀態轉移方程。
我們的目標是將f(i, j)轉化爲一個類似的子問題，爲了達成這種情況，一種思路枚舉與j匹配的最後一個字符，不放設爲S的第k個字符（K<=i），則有：
f(i, j) = sum(f(k - 1, j - 1)), 其中k滿足1<=k<=i,S[k]=T[j]
從而，將f(i, j)轉化爲了若干個規模變小（兩個參數都變小）的問題，於是就可以列用這樣的狀態轉移方程進行求解：
按照i,j分別從小到大的順序，依次求解f(i, j)，這樣在求解時，就可以確保其依賴的所有子問題都已經得到了求解。
但是這樣還並沒有達到這道題目的最優複雜度，不難發現，sum(f(k - 1, j - 1)), 1<=k
這樣一來，狀態轉移的複雜度就縮減到了O(1)，加上狀態本身的O(NM)的複雜度，總共是O(NM)的複雜度。
【參考答案】