伯努利分佈詳解(包含該分佈數字特徵的詳細推導步驟)

Bernouli Distribution(中文翻譯稱伯努利分佈)

該分佈研究的是一種特殊的實驗，這種實驗只有兩個結果要麼成功要麼失敗，且每次實驗是獨立的並每次實驗都有固定的成功概率p。

概率公式可以表示爲  ， x只能爲0或者1，即要麼成功要麼失敗

根據數學期望的性質

 

由於這裏x只有兩個取值所以該分佈的數學期望爲

方差則可以由方差公式來計算

方差公式： 

該分佈顯然， 因此可以得到，

所以方差 

最後我們來推導該分佈的最大似然估計

是這樣定義的，假設我們做了N次實驗，得到的結果集合爲 ,我們想找到一個，使得該集合的可能性最大，由於各項實驗之間是獨立的，可以運用乘法原理，那麼

由於0<p<1,要使上面的式子最大，等價於使加上ln底的式子值最大，我們加上ln的底就可以將連乘轉換爲加和的形式，推導公式如下

再由最大似然方程可知，要選取p使該式子最大，則只要使該式對p進行求導的值爲0，即

，

化簡後我們最終求得

, 這個就是伯努利分佈的最大似然估計