倍增法求LCA

下圖是這篇文章的思路導航，本人將按照這個模式學習該算法。此文爲我的學習筆記，如有差錯感謝大家斧正。

一，最初的目的

     顯然就是求LCA了，LCA是啥？ 中文解釋爲樹上兩點的最近公共祖先。有一個小bug，當兩個點在同一條支上的時候，LCA是可以爲其中一個點的。也就是說，LCA是可以包括着兩個點本身的。並不是嚴格意義上的祖先。

   這裏就加入一道板子題了：(題目鏈接P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）)

    題目答意：給你一棵樹，有 m 次查詢，每次問你 a, b,樹上兩點的最短距離。

    萬物始於暴力，LCA的樸素算法顯然也很簡單，就是先讓深度較深的向上爬直到兩點在同一深度上，如果這時兩點相遇(一點在以另一點爲根的子樹上)則LCA爲當前位置。如果還沒有相遇，就讓兩點同時向上移動，直到兩點相遇(兩點都在以LCA爲根的子樹上)。這裏的移動顯然是最耗費時間，如果有n個點m次查詢就爲O()當樹退化時接近O()

二，算法結構

    首先這是一個樹，不知道的可以出門找度娘。

    倍增顯然就是需要加速樸素算法中的上升過程了，這裏運用了一個類似DP的東西。

    我們要初始化一個 數組，這個數組表示， 這個節點由下往上第 位祖先是誰。顯然就有初狀態 爲  的父節點，還有狀態轉移方程  。這個轉移方程的中文表示法就是：我的第  位祖先的第  位祖先是我的第  位祖先。

    然後的過程就和樸素算法一樣了，爬高高。

    第一情況種:

              

     a 上升到與 b 同高相遇，LCA此時爲 b 。

     第二種情況：

              

    a b 同高後依然不相遇 ， 就讓 a b 同時向上  直到 a b 同父。

    然後是代碼部分：

struct node_e{
    int v,en;
}e[maxn<<1];
int he[maxn],cnt;//前項星三件套

int vis[maxn],dep[maxn];//標記，深度
int anc[maxn][25];//祖先
int n,m,s;

void ade(int a,int b){
    e[++cnt].v=b;e[cnt].en=he[a];he[a]=cnt;
}
void dfs(int s){//初始化
    vis[s] = 1;
    for(int i=1;i<21;++i){
        if(dep[s]<(1<<i)) break;
        anc[s][i]=anc[anc[s][i-1]][i-1];//倍增求祖先
    }
    for(int i=he[s];i;i=e[i].en){
        int v = e[i].v;
        if(vis[v]) continue;
        dep[v]=dep[s]+1;
        anc[v][0]=s;
        dfs(v);
    }
}
int Lca(int a,int b){
    if(dep[a]<dep[b]){int tt=a;a=b;b=tt;}//確保a在下面
    int t = dep[a]-dep[b];
    for(int i=0;i<21;i++){
        if(t&(1<<i)) a=anc[a][i];//a向上爬到和b同樣的高度

    }
    if(a==b) return a;//a,b在一棵子樹上
    for(int i=20;i>=0;i--){//不在
        if(anc[a][i]!=anc[b][i]){
            a=anc[a][i];
            b=anc[b][i];
        }
    }
    return anc[a][0];
}

三，理解深入(未完待續)

四，刷題