一句話題解

Uva7138(矩陣樹定理,高斯消元)
將第三種邊看做第一種加第二種,把第一種邊設爲$x$,那麼用矩陣樹定理求出的行列式是一個關於$x$的多項式,答案即爲$x^0$到$x^k$的係數和,插值或待定係數法即可

51nod 平均最小公倍數
$\sum_i\sum_j \frac{lcm(i,j)}{i} \\=\sum_i\sum_j \frac{j}{gcd(i,j)} \\=\sum_i\sum_{d|i}\sum_{gcd(i,j)=d}\frac{j}{d} \\=\sum_i\sum_{d|i}\sum_{gcd(i,j)=d}\frac{j}{d}\\(\because gcd(a,b)=gcd(a,a-b)) \\=\sum_i\sum_{d|i}\frac{\phi(\frac i d)\frac i d +[\frac i d =1]}{2} \\=\sum_i\sum_{d|i}\frac{\phi(d)d +[d=1]}{2} \\=\sum_d\sum_{d|i}\frac{\phi(d)d +[d=1]}{2} \\=\frac 1 2(\sum_d \lfloor\frac n d\rfloor (\phi(d)d+[d=1]))$
整除分塊,枚舉$\lfloor\frac n d\rfloor$,$\phi(d)d$卷一個$id$函數用杜教篩
loj6539 奇妙數論題
$\sum_i \sum_j gcd(i,j)gcd(a_i,a_j) \\=\sum_i \sum_j \sum_{d|i\;d|j}\phi(d)\sum_{g|a_i\;g|a_j}phi(g) \\=\sum_{g}\phi(g)\sum_{d}\phi(d)\sum_{d|i\;d|j\;g|a_i\;g|a_j}1$
枚舉$d$,然後枚舉數組中下標爲$d$的倍數的數,將它們的因子統計進臨時數組裏,最後掃一遍臨時數組統計答案