数据结构－二叉树
树
树的定义
树是n个结点的有限集合，在一个非空的树中有且只有一个根结点，其余结点可分为m个互不相交的有限子集，其中每个子集又是一棵树，并且成为根节点的子树。
文字定义有点绕，但图形化很容易记住：
|----------A----------|
| | |
|---B---| C |---D---|
| | | | |
E F G H I
树的基本概念
树的基本概念主要有以下几种：
- 双亲、孩子和兄弟
结点的子树称为结点的孩子；相应地，该结点称为其子结点的双亲；具有相同双亲的结点互为兄弟结点；上图中，BCD是A的孩子，A是BCD的双亲，同时BCD互为兄弟结点
- 结点的度
结点的度是指结点孩子结点的个数，A有3个孩子所以度为3，其他结点也以此类推
- 叶子结点
度为0的结点称为叶子结点，也称为终端结点，上图中CEFGHI为叶子结点
- 内部结点
度不为0的结点称为内部结点，也称为中间结点，上图中BD为中间结点
- 结点的层次
根为第一层结点，根的孩子为第二层结点，结点的层次即为目标节点与根结点构成的路径中结点的个数
- 树的高度
树中所有结点的最大层次即为树的高度，上图中树的高度为3
- 有序树／无序树
树中每个结点的孩子结点顺序不可交换为有序树，反之称为无序树
二叉树
二叉树的定义：“所有结点的孩子数不超过2的有序树”。
二叉树的种类
- 满二叉树
所有非叶子结点的孩子数均为2的二叉树即为满二叉树，若其深度为k则树的结点数为2k - 1
- 完全二叉树
高度为h的二叉树，除第h层外的每一层结点数均是满的，且h层的结点不存在左兄弟结点为空的情况，符合上述条件的二叉树被称为完全二叉树
- 线索二叉树
在结点中记录了某种遍历方式对应的结点线性顺序关系的二叉树
- 最优二叉树
最优二叉树也称为哈夫曼树，它是一类带权路径长度最短的树，树的带权路径长度等于所有叶子结点的带权路径长度只和，带权路径长度等于权重乘以路径长度，经典应用-霍夫曼编码
二叉树的遍历
二叉树的遍历，是指按某种策略访问树中的每个结点，主要有四种方式：先序、中序、后序与按层。为了后文描述遍历算法，先对树结点做一个结构定义：
// tree node
{
data: '', // 结点的值
left: null, // 左孩子，不存在则为null
right: null // 右孩子，不存在则为null
}
先序遍历
先序遍历是指先访问根结点，继而先序遍历左子树再先序遍历右子树，算法代码如下：
function preOrder(root) {
if (root === null) {
return;
}
console.log(root.data);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
中序遍历
中序遍历是指先中序访问左子树，继而访问根结点再中序遍历右子树，算法代码如下：
function inOrder(root) {
if (root === null) {
return;
}
inOrder(root.left);
console.log(root.data);
inOrder(root.right);
}
非递归方式：
function inOrderWithStack(root) {
let stack = [];
let p = root;
let q = null;
while(p !== null || stack.length !== 0) {
if (p !== null) {
stack.push(p); // 结点入栈
p = p.left;
continue;
}
q = stack.pop(); // 结点出栈
console.log(q.data);
p = q.right;
}
}
后序遍历
后序遍历是指先后序访问左子树，继而后序访问右子树再访问根结点，算法代码如下：
function postOrder(root) {
if (root === null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
console.log(root.data);
}
按层遍历
按层遍历是指根据树的层从小到大，每一层从左向右访问各结点，刷法代码如下：
function levelOrder(root) {
let p = null; // 用于保存队列出来的结点
let queue = [];
queue.push(root);
while((p = queue.shift())) { // queue为空时表达式的值为undefined，即为false
consolg.log(p.data);
p.left && queue.push(p.left); // if的一种简写
p.right && queue.push(p.right);
}
}
树的应用
查找二叉树
查找二叉树也称为二叉排序书，它满足以下两个条件：
- 所有结点的左子树结点值均小于自己
- 所有结点的右子树结点值均大于自己
查找二叉树主要作用就是可以进行快速查找，从某查找二叉树中查找值的算法如下：
function searchBST(root, key) {
let p = root;
while(p !== null && p.data !== key) {
p = key < p.data ? p.left : p.right;
}
return p;
}
查找二叉树的插入算法与查找算法相似，如下：
function insertBST(root, key) {
let node = treeNodeFrom(key);
let p = root;
let q = null; // 指向p的双亲结点
while(p !== null && p.data !== key) {
q = p;
p = key < p.data ? p.left : p.right;
}
if (p !== null) {
throw new Error('duplicate key');
}
if (q.data > key) {
q.left = node;
}
else {
q.right = node;
}
}
平衡二叉树
平衡树满足以下两个条件：
- 左子树和右子树都是平衡树
- 左子树与右子树的高度差其绝对值不超过1
一颗平衡查找二叉树的查找效率会优于不平衡的查找二叉树，但是插入和删除结点可能涉及需要对树做调整使其保持平衡，这其中的操作用代码表示会比较复杂，暂时不展开。
B树
B树是一个一般化的二叉查找树，主要用在数据库和文件系统上，相信内容移步wiki。