排錯公式推導及其應用（HDU 1465 不容易系列之一）

我們先來看這樣一道題：

HDU 1465 不容易系列之一
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 27244 Accepted Submission(s): 11942

Problem Description
大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，確實，失敗比成功容易多了！
做好“一件”事情尚且不易，若想永遠成功而總從不失敗，那更是難上加難了，就像花錢總是比掙錢容易的道理一樣。
話雖這樣說，我還是要告訴大家，要想失敗到一定程度也是不容易的。比如，我高中的時候，就有一個神奇的女生，在英語考試的時候，竟然把40個單項選擇題全部做錯了！大家都學過概率論，應該知道出現這種情況的概率，所以至今我都覺得這是一件神奇的事情。如果套用一句經典的評語，我們可以這樣總結：一個人做錯一道選擇題並不難，難的是全部做錯，一個不對。

不幸的是，這種小概率事件又發生了，而且就在我們身邊：
事情是這樣的——HDU有個網名叫做8006的男性同學，結交網友無數，最近該同學玩起了浪漫，同時給n個網友每人寫了一封信，這都沒什麼，要命的是，他竟然把所有的信都裝錯了信封！注意了，是全部裝錯喲！

現在的問題是：請大家幫可憐的8006同學計算一下，一共有多少種可能的錯誤方式呢？

Input
輸入數據包含多個多個測試實例，每個測試實例佔用一行，每行包含一個正整數n（1<n<=20），n表示8006的網友的人數。

Output
對於每行輸入請輸出可能的錯誤方式的數量，每個實例的輸出佔用一行。

Sample Input
2
3

Sample Output
1
2

這是一道既視感很強的題，做的時候就想到了高中時候學的“歐拉裝錯信封問題”，在這裏碰到了。用遞歸很簡單就做出來了。
其實從“歐拉裝錯信封問題”裏可以求出一個遞歸的通項，也就是所謂的錯排公式，直接附上公式也無助於進步，我來解釋一下這個公式是怎麼推導的。

錯排公式的推導

推導可以分爲兩種情況，爲了方便理解和書寫，我們選擇n = 4 時的歐拉裝錯信封問題。

第一步：

把A裝到b、c、d三個之一，假設就裝到b裏面吧。

第二步：

對於第二步有兩種情況：
情況1：

如果此時把B裝到了a信封裏面，那麼就變成了 C 和 D 的互相插，也就是說是n = 2時的情況。

情況2：

如果不把B裝到a信封中，那麼我們就可以把 a 信封看作是 b 信封，那麼此時就變成了 B、C、D三個信封互插的，也就是 n = 3時的情況。

然後我們可以得出 $A_4$ = 3 * ($A_2$ + $A_3$) = 3 * 3 = 9（種）

不難得出通項公式：$A_n$=(n - 1) * ($A_ {n-1}$ + $A_{n-2}$)。

這樣子這道題就特別簡單了，附上Ac代碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

long long a[25];

void Euler()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    a[2] = 1;
    a[3] = 2;
    for(int i = 4; i <= 20 ; i++)
        a[i]=(i-1)*(a[i-1] + a[i-2]);
}


int main()
{
    int n;
    Euler();
    while(cin >> n)
        cout << a[n] << endl;
}