排错公式推导及其应用（HDU 1465 不容易系列之一）

我们先来看这样一道题：

HDU 1465 不容易系列之一
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 27244 Accepted Submission(s): 11942

Problem Description
大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！
做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。

不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！

现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

Input
输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1<n<=20），n表示8006的网友的人数。

Output
对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

Sample Input
2
3

Sample Output
1
2

这是一道既视感很强的题，做的时候就想到了高中时候学的“欧拉装错信封问题”，在这里碰到了。用递归很简单就做出来了。
其实从“欧拉装错信封问题”里可以求出一个递归的通项，也就是所谓的错排公式，直接附上公式也无助于进步，我来解释一下这个公式是怎么推导的。

错排公式的推导

推导可以分为两种情况，为了方便理解和书写，我们选择n = 4 时的欧拉装错信封问题。

第一步：

把A装到b、c、d三个之一，假设就装到b里面吧。

第二步：

对于第二步有两种情况：
情况1：

如果此时把B装到了a信封里面，那么就变成了 C 和 D 的互相插，也就是说是n = 2时的情况。

情况2：

如果不把B装到a信封中，那么我们就可以把 a 信封看作是 b 信封，那么此时就变成了 B、C、D三个信封互插的，也就是 n = 3时的情况。

然后我们可以得出 $A_4$ = 3 * ($A_2$ + $A_3$) = 3 * 3 = 9（种）

不难得出通项公式：$A_n$=(n - 1) * ($A_ {n-1}$ + $A_{n-2}$)。

这样子这道题就特别简单了，附上Ac代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

long long a[25];

void Euler()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    a[2] = 1;
    a[3] = 2;
    for(int i = 4; i <= 20 ; i++)
        a[i]=(i-1)*(a[i-1] + a[i-2]);
}


int main()
{
    int n;
    Euler();
    while(cin >> n)
        cout << a[n] << endl;
}