多目標優化系列：
MOP_2. 非支配排序遺傳算法 —（NSGA、NSGA-II)
1. 非支配排序遺傳算法(NSGA)
1995年，Srinivas和Deb提出了非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithms，NSGA)。這是一種基於Pareto最優概念的遺傳算法。
(1) 基本原理
NSGA與簡單的遺傳算法的主要區別在於：該算法在選擇算子執行之前根據個體之間的支配關係進行了分層。其選擇算子、交叉算子和變異算子與簡單遺傳算法沒有區別。
在選擇操作執行之前，種羣根據個體之間的支配與非支配關係進行排序：
首先，找出該種羣中的所有非支配個體，並賦予他們一個共享的虛擬適應度值。得到第一個非支配最優層；
然後，忽略這組己分層的個體，對種羣中的其它個體繼續按照支配與非支配關係進行分層，並賦予它們一個新的虛擬適應度值，該值要小於上一層的值，對剩下的個體繼續上述操作，贏到種羣中的所有個體都被分層。
算法根據適應度共享對虛擬適應值重新指定：
比如指定第一屢個體的虛擬適應值爲1，第二層個體的虛擬適應值應該相應減少，可取爲0．9，依此類推。這
樣，可使虛擬適應值規範化。保持優良個體適應度的優勢，以獲得更多的複製機會，同時也維持了種羣的多樣性。
(2) 算法流程
NSGA採用的非支配分層方法，可以使好的個體有更大的機會遺傳到下一代；適應度共享策略則使得準Pamto面上的個體均勻分佈，保持了羣體多樣性，克服了超級個體的過度繁殖，防止了早熟收斂。算法流程如圖所示：
(3) 算法缺陷
非支配排序遺傳算法(NSGA)在許多問題上得到了應用。但NSGA仍存在一些問題：
a) 計算複雜度較高，爲
b) 沒有精英策略；精英策略可以加速算法的執行速度，而且也能在一定程度上確保已經找到的滿意解不被丟失。
c) 需要指定共享半徑
2. 帶精英策略的非支配排序的遺傳算法(NSGA-II)
2000年，Deb又提出NSGA的改進算法一帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA-II），針對以上的缺陷通過以下三個方面進行了改進：
a) 提出了快速非支配排序法，降低了算法的計算複雜度。由原來的
b) 提出了擁擠度和擁擠度比較算子，代替了需要指定共享半徑的適應度共享策略，並在快速排序後的同級比較中作爲勝出標準，使準Pareto域中的個體能擴展到整個Pareto域，並均勻分佈，保持了種羣的多樣性。
c) 引入精英策略，擴大采樣空間。將父代種羣與其產生的子代種羣組合，共同競爭產生下一代種羣，有利於保持父代中的優良個體進入下一代，並通過對種羣中所有個體的分層存放，使得最佳個體不會丟失，迅速提高種羣水平。
(1) 基本原理
快速非支配排序法：
NSGA-II對第一代算法中非支配排序方法進行了改進：對於每個個體 i 都設有以下兩個參數 n(i) 和 S(i)，
n(i) 爲在種羣中支配個體 i 的解個體的數量。（別的解支配個體 i 的數量）
S(i) 爲被個體 i 所支配的解個體的集合。（個體 i 支配別的解的集合）
1) 首先，找到種羣中所有 n(i)=0 的個體，將它們存入當前集合F(1)；（找到種羣中所有未被其他解支配的個體）
2) 然後對於當前集合 F(1) 中的每個個體 j，考察它所支配的個體集 S(j)，將集合 S(j) 中的每個個體 k 的 n(k) 減去1，即支配個體 k 的解個體數減1(因爲支配個體 k 的個體 j 已經存入當前集 F(1) )；（對其他解除去被第一層支配的數量，即減一）
3) 如 n(k)-1=0則將個體 k 存入另一個集H。最後，將 F(1) 作爲第一級非支配個體集合，並賦予該集合內個體一個相同的非支配序 i(rank)，然後繼續對 H 作上述分級操作並賦予相應的非支配序，直到所有的個體都被分級。其計算複雜度爲
確定擁擠度：
在原來的NSGA中，我們採用共享函數以確保種羣的多樣性，但這需要由決策者指定共享半徑的值。爲了解決這個問題，我們提出了擁擠度概念：在種羣中的給定點的周圍個體的密度，用 
擁擠度比較算子:
從圖中我們可以看出
由於經過了排序和擁擠度的計算，羣體中每個個體 i 都得到兩個屬性：非支配序 i(rank) 和擁擠度 
(2) 算法流程
首先，隨機初始化一個父代種羣P(0)，並將所有個體按非支配關係排序且指定一個適應度值，如：可以指定適應度值等於其非支配序 i(rank)，則1是最佳適應度值。然後，採用選擇、交叉、變異算子產生下一代種羣Q(0)，大小爲N。
如圖，首先將第 t 代產生的新種羣Q(t)與父代P(t)合併組成R(t)，種羣大小爲2N。然後R(t)。進行非支配排序，產生一系列非支配集 F(t) 並計算擁擠度。由於子代和父代個體都包含在 R(t) 中，則經過非支配排序以後的非支配集 F(1) 中包含的個體是 R(t) 中最好的，所以先將 F(1) 放入新的父代種羣 P(t+1) 中。如果 F(1) 的大小小於N，則繼續向 P(t+1) 中填充下一級非支配集 F(2)，直到添加 F(3) 時，種羣的大小超出N，對 F(3) 中的個體進行擁擠度排序(sort(F(3),
算法的整體複雜性爲
通過介紹非支配排序遺傳算法(NSGA)及其改進算法NSGA-II的基本原理和流程，我們瞭解到NSGA-II解決了NSGA中存在的3個問題：降低了計算複雜度；引入精英策略；採用擁擠度及其比較算子代替了共享半徑。使得NSGA-Ⅱ在處理多目標優化問題上有更好的性能。
參考文獻：