多目標優化系列：

在學習多目標優化的過程中，尤其涉及Pareto相關知識的一些概念的時候，公式與嚴謹邏輯的定義，在初學狀態下，很難準確的認識並理解這些概念，本文重點就是將學習的過程中，對這些概念的自己理解，用較通俗的語言整理出來。

1. Pareto 支配關係 (Pareto Dominance)

（1）支配：對於多個目標值，隨機自變量 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，對於任意一個目標函數都存在 $f(x_{1})<f(x_{2})$ ，則 $x_{1}$ 支配 $x_{2}$ 。

（2）弱支配：對於多個目標值，隨機自變量 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，對於目標函數有 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ，且至少存在一個目標函數有 $g(x_{1})< g(x_{2})$ ，則 $x_{1}$ 弱支配 $x_{2}$ 。

（3）互不支配：對於多個目標值，隨機自變量 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，使 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ ，同時，存在一個目標函數 $g(x_{1})> g(x_{2})$ ，則 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 互不支配。

2. Pareto解 (Pareto Solution)

Pareto解又稱非支配解或不受支配解（nondominated solutions）：在有多個目標時，由於存在目標之間的衝突和無法比較的現象，一個解在某個目標上是最好的，在其他的目標上可能是最差的。這些在改進任何目標函數的同時，必然會削弱至少一個其他目標函數的解稱爲非支配解或Pareto解。

無法在改進任何目標函數的同時不削弱至少一個其他目標函數，這種解稱作非支配解(nondominated solutions)或Pareto最優解(Pareto optimal solutions)。

可以理解爲：這種狀態下，一旦使任何一個目標更優的時候就會損壞其他目標的利益。即，不削弱其他目標是任何目標無法改進的狀態。

一個多目標優化問題，對於一組給定的最優解集，如果這個集合中的解是相互非支配的，也即兩兩不是支配關係，那麼則稱這個解集爲Pareto Set 。

Pareto Set 中每個解對應的目標值向量組成的集合稱之爲Pareto Front, 簡稱爲PF。

另外，有一些很不錯的博客文章，裏面對於一些概念有較官方的解釋，推薦一下：