欧拉函数
欧拉函数就是指:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 。
欧拉函数的通式:φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn),其中p1, p2……pn为n的所有质因数,n是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。
对于上述的通式一定要牢记在心,因为这是计算欧拉函数最重要的一步
废话少说,先上代码:
int euler(int n)
{
int ans=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
ans-=ans/i; // 这一步就是对应欧拉函数的通式
//这一个语句是为了保证完全消除我们刚才得到的那个i因子。确保我们下一个得到的i是n的素因子。
while(n%i==0){
n/=i;
}
}
}
//这个语句是为了保证我们已经除完了n的所有的素因子,有可能还会出现一个我们未除的因子,
//如果结尾出现n>1 ,说明我们还剩一个素因子木有除。
if(n>1)ans-=ans/n;
return ans;
}
但是我们一般做的题当然不会这么简单啊~~来点稍微难一点点的。。。
如果我们要求的数比较多,如果一个一个求那么很容易就超时,所以我们自然而然就想到——打表
我们先来一个最朴素的打表
void euler()
{
p[1]=1;
for(int i=2;i<=MAXN;i++){
int n=i;
p[i]=i;
for(int j=2;j*j<=n;j++){
if(n%j==0){
p[i]=p[i]/j*(j-1);
while(n%j==0) n=n/j;
}
}
if(n>1) p[i]=p[i]/n*(n-1);
}
for(int i=2;i<MAXN;i++)
p[i]+=p[i-1];
}
这种打表方法并不是很理想。。。。
下面推荐 两种较快的打表方法:
ps:这种好像稍微快那么一点点~
void euler()
{
E[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++)
E[i]=i;
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(E[i]==i)
for(int j=i;j<maxn;j+=i){
E[j]=E[j]/i*(i-1);
}
}
}
第二种:
void euler()
{
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!E[i])
for(int j=i;j<maxn;j+=i){
if(!E[j])E[j]=j;
E[j]=E[j]/i*(i-1);
}
}
}
上述打表方法的思想和最初的是差不多的。但是它进行了优化,所以比较快。
我们逐步分析一下:
首先,在这里我们枚举的是素因子。因为素因子比较少,如果枚举素因子的话肯定会大大优化复杂度?
那么,我们如何保证我们得到的就一定是个素因子呢?这就是我们if语句的作用,例如在第一种方法中,我们在第二个for 循环中就是把所有数,除以素因子。这样得到的复杂度一定比枚举每个数,然后找素因子(最开始那个打表法)这种打表要优化的多。