大 O 複雜度表示法
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
總的執行時間就是T(n) = (2n+2)*unit_time。
記爲：T(n) = O(n)；
所有代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
執行時間 T(n) = (2n2+2n+3)* unit_time。
記爲：T(n) = O(n2)
大 O 複雜度表示法：
T(n): 表示代碼執行的時間；
n: 表示數據規模的大小；
f(n): 表示每行代碼執行的次數總和；
O: 表示代碼的執行時間T(n)與f(n)表達式成正比。
大 O 複雜度表示法時間上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢，所以，也叫作漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。
時間複雜度分析
- 1.只關注循環執行次數最多的一段代碼
- 2.加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度
- 3.乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積
幾種常見時間複雜度實例分析
雖然代碼千差萬別，但是常見的複雜度量級並不多。我稍微總結了一下，這些複雜度量級幾乎涵蓋了你今後可以接觸的所有代碼的複雜度量級。
複雜度量級(按數量級遞增)
- 多項式量級
- 常量階 O(1)
- 對數階 O(log n)
- 線性階 O(n)
- 線性代數階 O(nlogn)
- 平方階 O(n²)、立方階O(n³)…k次方階O(n^{k})
- 非多項式量級
- 指數階 O(2^n)
- 階乘積 O(n!)
1.O(1)
首先你必須明確一個概念，O(1) 只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並不是指只執行了一行代碼。比如這段代碼，即便有 3 行，它的時間複雜度也是 O(1），而不是 O(3)。
int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;
我稍微總結一下，只要代碼的執行時間不隨 n 的增大而增長，這樣代碼的時間複雜度我們都記作 O(1)。或者說，一般情況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即使有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)。
2.O(logn)、O(nlogn)
對數階時間複雜度非常常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。我通過一個例子來說明一下。
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
根據我們前面講的複雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。所以，我們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。
從代碼中可以看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。還記得我們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。如果我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：
2^0 * 2^1 * 2^2 ... 2^k ... 2^n = m 3 n
所以，我們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。通過 2x=n 求解 x 這個問題我們想高中應該就學過了，我就不多說了。x=log2n，所以，這段代碼的時間複雜度就是 O(log2n)。
現在，我把代碼稍微改下，你再看看，這段代碼的時間複雜度是多少？
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}
根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段代碼的時間複雜度爲 O(log3n)。
實際上，不管是以 2 爲底、以 3 爲底，還是以 10 爲底，我們可以把所有對數階的時間複雜度都記爲 O(logn)。爲什麼呢？
我們知道，對數之間是可以互相轉換的，log3n 就等於 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一個常量。基於我們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，可以忽略係數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等於 O(log3n)。因此，在對數階時間複雜度的表示方法裏，我們忽略對數的“底”，統一表示爲 O(logn)。
如果你理解了我前面講的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得我們剛講的乘法法則嗎？如果一段代碼的時間複雜度是 O(logn)，我們循環執行 n 遍，時間複雜度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一種非常常見的算法時間複雜度。比如，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 O(nlogn)。
3.O(m+n)、O(m*n)
我們再來講一種跟前面都不一樣的時間複雜度，代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。老規矩，先看代碼！
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
從代碼中可以看出，m 和 n 是表示兩個數據規模。我們無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以我們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。所以，上面代碼的時間複雜度就是 O(m+n)。
針對這種情況，原來的加法法則就不正確了，我們需要將加法規則改爲：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法則繼續有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
空間複雜度
前面我講過，時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增長關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度（asymptotic space complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增長關係。
舉個例子：
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}
跟時間複雜度分析一樣，我們可以看到，第 2 行代碼中，我們申請了一個空間存儲變量 i，但是它是常量階的，跟數據規模 n 沒有關係，所以我們可以忽略。第 3 行申請了一個大小爲 n 的 int 類型數組，除此之外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，所以整段代碼的空間複雜度就是 O(n)。
我們常見的空間複雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。而且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單很多。所以，對於空間複雜度，掌握剛我說的這些內容已經足夠了。
內容小節
複雜度也叫漸進複雜度，包括時間複雜度和空間複雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增長關係，可以粗略地表示，越高階複雜度的算法，執行效率越低。常見的複雜度並不多，從低階到高階有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。等你學完整個專欄之後，你就會發現幾乎所有的數據結構和算法的複雜度都跑不出這幾個。
