二分查找相關性質 ：
二分查找針對一個有序的數據集合，每次通過和區間的中間元素對比，將待查區間縮小爲之前的一半，知道查到要查找的元素，或者區間縮小爲0。
查詢的時間複雜度：O（logn）
待查區間是：n，n/2，n/4，n/8，...，n/2^k。其中當n/2^k=1時，查詢了k = log2n次，並且每次查詢只涉及兩個數據的大小比較操作，所以時間複雜度是O（logn）
如何寫一個正確無誤的二分查找：
二分法的寫法有很多種，以爲你low和high的初始化會影響後面整個二分停止條件，以及mid的賦值，low和high的更新，所以我的寫法以下標爲準
int low = 0,high = n-1;
要注意三個容易出錯的地方：
- 循環退出條件
注意是 low<=high，而不是 low
- mid 的取值
mid = low + (high - low ) /2 防止當low和high都很大的時候，直接相加除以2的方法時的溢出。另外如果想繼續優化性能，mid = low+((high-low)>>1)，注意後面要加個括號，因爲優先級的緣故。
- low和high的更新
low = mid+1;
high = mid-1;
這裏很好理解，因爲二分的核心是拿中間的數取和low，high下標對應的數取比較，如果比較完成了之後，肯定要拋去中間這個數了。（對於二分的變形問題不適用，最好的方法就是解決不同變形問題時候畫圖想想）
二分法應用場景的侷限性
- 二分法依賴的是順序表結構（數組），來完成它根據下標的O（1）快速查找。
如果你想利用鏈表來實現，鏈表的隨機訪問時間複雜度很高，這樣會導致二分查找的時間複雜度變高。
- 二分查找針對有序的數據；靜態場景下少次插入刪除，多次查找的數據。
如果是一組無序的靜態數據，沒有頻繁的插入，刪除，我們進行一次排序多次查找，這樣排序的時間複雜度被均攤，二分查找效率就會很高。相反，如果數據集涉及到頻繁的插入和刪除，要想用二分查找，同時還要調用多次排序來維護有序性，這樣的時間複雜度就很高。
- 數據量較小，直接使用順序查找即可，因爲體現不出來二分查找的優勢。
不過也有例外，當數據之間的比較非常耗時時，不管數據量大小，都推薦使用二分查找從而來降低比較的次數。
- 數據量太大不適合二分查找
前面提到，二分法依賴順序表結構，就是要開闢一塊連續的內存。如果申請不到一塊很大的內存空間就沒法來存儲這些數據。
思考題：
如何在 1000 萬個整數中快速查找某個整數？內存限制是100MB。
每個數據大小是8B，直接將數據存在數組中，消耗內存80MB。對1000萬個數據從小到大排序，然後利用二分查找，可以快速查找到想要的數據。
至於爲什麼要排序，因爲如果要多次查找呢？如果不排序，每次都要O(n)的時間複雜度，但是排序了之後利用二分查找大大降低了需要的時間。並且，大部分情況下二分查找可以解決的問題，用哈希表和二叉樹都可以解決，但是會需要比較多的額外空間。所以100MB存儲不下。數組除了存儲數據本身之外，不需要額外存儲其他信息，是最省空間的存儲方式。
課後思考：
- 如何編程實現“求一個數的平方根”？要求精確到小數點後 6 位。
https://blog.csdn.net/qq_34269988/article/details/97179601
- 如果數據使用鏈表存儲，二分查找的時間複雜就會變得很高，那查找的時間複雜度究竟是多少呢？如果你自己推導一下，你就會深刻地認識到，爲何我們會選擇用數組而不是鏈表來實現二分查找了。
假設鏈表長度爲n，第一次查找的區域爲[0,n/2)，指針需要移動n/2次；第二次需要移動n/4次；直到第k次需要移動1次。總共指針移動次數(查找次數) = n/2 + n/4 + n/8 + ...+ 1。sum = n -1。時間複雜度爲O(n)。
二分查找的四個變形問題：
- 查找第一個值等於給定值的元素在數組中的位置
int search(int *a, int n, int value) {
int low = 0, high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (a[mid]>value) {
high = mid - 1;
}
else if (a[mid]< value) {
low = mid + 1;
}
else {
if (mid == 0 || a[mid - 1] != value) return mid;
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
- 查找最後一個值等於給定值的元素在數組中的位置
int search(int *a, int n, int value) {
int low = 0, high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (a[mid]>value) {
high = mid - 1;
}
else if (a[mid]< value) {
low = mid + 1;
}
else {
if (mid == n-1 || a[mid + 1] != value) return mid;
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
- 查找最後一個小於等於給定值的元素在數組中的位置
int search(int *a, int n, int value) {
int low = 0, high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (a[mid] >= value) {
if (mid == 0 || a[mid - 1] < value) return mid;
high = mid - 1;
}
else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
- 查找最後一個小於等於給定值的元素在數組中的位置
int search(int *a, int n, int value) {
int low = 0, high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (a[mid] <= value) {
if (mid == n - 1 || a[mid + 1] > value) return mid;
low = mid + 1;
}
else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
思考題： 如何快速定位IP對應的省份地址？
[202.102.133.0, 202.102.133.255] 山東東營市
[202.102.135.0, 202.102.136.255] 山東煙臺
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山東青島
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江蘇宿遷
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江蘇泰州
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江蘇連雲港
將所有的ip區間的起始地址進行排序，然後根據二分查找，找到最後一個小於等於目標ip的起始ip，然後在這個區間內查找，如果在，我們就取出對應的歸屬地顯示；如果不在，就返回未查找到。
總結：
凡是用二分查找能解決的，絕大部分我們更傾向於用散列表或者二叉查找樹。即便是二分查找在內存使用上更節省，但是畢竟內存如此緊缺的情況並不多。那二分查找真的沒什麼用處了嗎？實際上，上一節講的求“值等於給定值”的二分查找確實不怎麼會被用到，二分查找更適合用在“近似”查找問題，在這類問題上，二分查找的優勢更加明顯。比如今天講的這幾種變體問題，用其他數據結構，比如散列表、二叉樹，就比較難實現了。
課後思考：如果有序數組是一個循環有序數組，比如 4，5，6，1，2，3。針對這種情況，如何實現一個求“值等於給定值”的二分查找算法呢？
先找到分界下標，然後在兩個區間做二分查找。